专题 证明圆的切线的常用方法（六大题型）（原卷版）.pdfVIP

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》

专题证明圆的切线的常用的方法

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：

1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接

起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.

2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的

垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.

类型一：有公共点：连半径，证垂直

●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重

合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．

求证：EF是⊙O的切线；

【变式】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行

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线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．

求证：BD是⊙O的切线；

【变式】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分

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∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．

【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC

＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

（1）求证：MN是半圆的切线．

（2）求证：FD＝FG．

【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长

线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径．

（3）连接BE，求BE的长．

●●【典例二】如图，△ABC是直角三角形，点O是线段AC上的一点，以点O为圆心，OA为半径

作圆．O交线段AB于点D，作线段BD的垂直平分线EF，EF交线段BC于点．

（1）若∠B＝30°，求∠COD的度数；

（2）证明：ED是⊙O的切线．

【变式】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，==，DE⊥AC．

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求证：DE是⊙O的切线．

【变式】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC

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交BC的延长线于点E．

求证：DE是⊙O的切线．

【变式】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，

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∠OAC＝60°．​

（1）求∠AOC的度数；

（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且=43，求证：PC为⊙O的切线；

【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，点F在CD上，且AF＝DF，

连接AD，BC．

（1）求证：∠FAD＝∠B

（2）延长FA到P，使FP＝FC，作直线CP．如果AF∥BC．

求证：直线CP为⊙O的切线．

●●【典例三】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线

于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．

求证：CE为⊙O的切线；

【变式】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使

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AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．

【变式】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂

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足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

【变式】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，