有限元参数单元-数值积分.pptVIP

数值积分1.问题的提出对于一个实际的单元，可以实现整个单元刚度矩阵在两个坐标系的变换计算，即2.数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素：(1)给定的积分区间;(2)给定的被积函数;(3)具体的积分方法。下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念。(i)梯形法abxixi+1f(xi)f(xi+1)hf(x)xf(x)函数f(x)在区间(a,b)的积分可以表达为：权系数；：积分样点；：积分样点的函数值。梯形法的求积公式为(ii)当被积函数为n-1次多项式Pn-1(x)时，则由n个样点及其样点值（xi,Pn-1(xi),i=1,n）可以确定这个多项式。(iii)对多项式形式的被积函数进行积分可以采用高斯求积法。3.数值积分的Gauss方法（1）1点Gauss积分公式n=1时(2)2点Gauss积分n=2时(4-148)(4-149)(4-150)3.数值积分的Gauss方法高次多点Gauss积分4.Gauss-Legendre(高斯-勒让德)积分x1L0=11-1xL1=x1-1xL2-1L3-1xx1x2-1/2111Legendre多项式的定义域为[-1,1]零阶Legendre多项式三阶Legendre多项式四阶Legendre多项式二阶Legendre多项式一阶Legendre多项式01n阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间[-1,1]上的有界解。Ln(x)在区间（-1,1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义则得一个定义在[-1,1]上的多项式系列020304多项式的性质，涉及下面的关系：对于任何kn都有显然有0506一般n阶Legendre多项式的定义为对于m≠n（m、n非零，不妨认为mn）02任何两个阶数不同的Legendre多项式正交，对于n≥101关于Legendre多项式有如下重要结论当m=n时则有(2)若在(1)的证明中将Ln(x)换成任何次数不超过m-1次的多项式Pm－１(x)则有这表明：Lm(x)与任何一个次数不超过m-1的多项式正交。(3)若q(x)是（－１，１）上平方可积的函数，则可将q(x)展开成对于n次多项式Pn(x)有一般若取任取n个积分点x1、x2、…xn，作n-1次插值多项式，积分Ｉ的近似值可表示为(a)当积分点取为n阶Legendre多项式的零点时，如果被积函数f(x)为次数不超过2n－1次的多项式，（a）将给出积分的精确值。这就是高斯求积分法，上述积分点又称为高斯点。高斯点的个数又称为积分阶数，有限元分析中一般n=2~4。一般来说，对于一个2n-1阶的多项式，需用2n个样点及其样点值才能精确重构该多项式，或者说，需用2n个积分样点才能给出精确积分。常见的高斯点坐标和权系数积分阶数n高斯点坐标权系数2n－1１x1=0W1=21２X1，2=0.5773502692W1,2=13３x1，3=0.7745966692x2=0W1,3=5/9W1=8/95４X1,4=0.8611363116X2,3=0.3399810436W1,4=0.3478548451W2,3=0.652145154975.二维情况积分阶数n是对每一个自变量而言的积分阶数，而积分点总数在二维情况下为n2，在三维情况下为n3。一种经常采用的（并非唯一可能的）选择方式是：沿x、y方向取同样个数的积分点单元刚度公式的数值积分形式八结点单元而言[k]共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136个元素进行数值积分。[Ｂ]矩阵在积分点上的函数值是确定的，因为它与形函数相关，而形函数是一个确定的函数。其中(ξi，ηj)为积分点的自然坐标。对于每个积分点都必须计算detJ的值。注意：5平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算例5平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算5平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算其中H为5平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算