《高等数学》课件 第十一章 重积分.ppt

一、问题的提出

１．曲顶柱体的体积

柱体体积=底面积×高

特点：平顶.

zf(x,y)

柱体体积=？

特点：曲顶.

D

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和

、取极限”的方法，如下动画演示．

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步骤如下：

先分割曲顶柱体的底，z

并取典型小区域，zf(x,y)

用若干个小平

顶柱体体积之

y

和近似表示曲o

(i,i)

顶柱体的体积，

xD

ni

曲顶柱体的体积

Vlimf(i,i)i.

0

i1

２．求平面薄片的质量

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域

D，在点(x,y)处的面密度为(x,y)，假定

(x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？

将薄片分割成若干小块，y

(,)

取典型小块，将其近似ii



看作均匀薄片，

i

所有小块质量之和

onx

近似等于薄片总质量Mlim(i,i)i.

0

i1

二、二重积分的概念

定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函

数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，

2,，n，其中i表示第i个小闭区域，

也表示它的面积，在每个i上任取一点

(i,i)，

作乘积f(i,i)i，(i1,2,,n)，

n

并作和，

f(i,i)i

i1

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零

时，这和式的极限存在，则称此极限为函数

f(x,y)在闭区域D上的二重积分，

记为f(x,y)d，

D

n

即.

f(x,y)dlimf(i,i)i

0

Di1

对二重积分定义的说明：

(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是

任意的.

(2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式

的极限必存在，即二重积分必存在.

二重积分的几何意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．

当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的

负值．

在直角坐标系下用平y

行于坐标轴的直线网来划

分区域D，

则面积元素为ddxdy

ox

故二重积分可写为

f(x,y)df(x,y)dxdy

DD

三、二重积分的性质

（二重积分与定积分有类似的性质）

性质１当k为常数时，

kf(x,y)dkf(x,y)d.

D