2025高考数学一轮复习3.2导数与函数的单调性【课件】.pptx

第三章一元函数的导数及其应用第2节导数与函数的单调性

1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

目录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03

知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE

1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)上__________f′(x)＜0f(x)在(a，b)上__________f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是__________单调递增单调递减常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的________；第2步，求出导函数f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域零点

1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解.常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.()×√×√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.

2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e)C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e)CD解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).

3.(选修二P97T2改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是 ? ______________________.解析由f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)＞0，

4.(选修二P89练习T2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是___________.[－3，0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.

考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO

考点一不含参函数的单调性例1(1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()A.f(x)＝sin2x B.f(x)＝xexC.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋lnxB对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；

(1，＋∞)φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，φ(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.

感悟提升确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.

D

(2)已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为________________.解析f′(x)＝1－2sinx，x∈[0，π]，

考点二含参函数的单调性由f′(x)0，得0x1，由f′(x)0，得x1，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；

感悟提升若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

训练2(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性.解由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).令f′(x)0，则xx1或x