高中数学(人教B版)必修二同步讲义第4章第07讲增长速度的比较(学生版+解析).docxVIP

第07讲增长速度的比较

课程标准

学习目标

1.理解函数平均变化率的概念.

2.知道函数平均变化率的几何意义.

3.会求函数在指定区间上的平均变化率.

4.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．

1.通过学习函数平均变化率的概念、几何意义培养数学抽象素养.

2.通过利用函数的平均变化率比较函数的增长速度培养数学运算素养和逻辑推理素养．

知识点01平均变化率的概念

函数yf(x)在区间[x1，x2](x1x2时)或[x2，x1](x1x2时)上的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)．

说明：（1）实数x1，x2在定义域内不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δyy2－y1是Δxx2－x1相应的改变量，Δy的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零．

（2）平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．

【即学即练1】函数f(x)3x在区间[2，3]上的平均变化率为________．

知识点02平均变化率的几何意义

函数yf(x)在区间[x1，x2](x1x2)上的平均变化率eq\f(Δf,Δx)eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)表示函数yf(x)图象上过点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))的直线的斜率．

【即学即练2】已知函数f(x)2x2图象上的两点A，B，xA1，xB2，则直线AB的斜率为()

A．－6 B．6

C．－3 D．3

知识点03增长速度的比较

1．几类不同增长的函数模型

(1)一次函数模型

一次函数模型ykx(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型yax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．

(3)对数函数模型

对数函数模型ylogax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型

当x＞0，n＞1时，幂函数yxn是增函数，且当x＞1时，n越大其函数值的增长速度就越快．

2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异

一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数yax(a＞1)，ylogax(a＞1)和yxn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．

随着x的增大，yax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n＞0)的增长速度，而ylogax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．

因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)．

指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较

函数

性质

yax(a＞1)

ylogax(a＞1)

yxn(n＞0)

在(0，＋∞)上的单调性

单调递增，且a越大，增长越快.

单调递增，且a越小，增长越快.

单调递增，且x＞1时，n越大增长越快．

增长速度

越来越快.

越来越慢.

越来越快．

图像的变化

随x的增大越来越陡.

随x的增大逐渐变缓.

随着n值的不同而不同.

【即学即练3】下列函数增长速度最快的是()

A．y3x B．ylog3x

C．yx3 D．y3x

题型01求函数的平均变化率

【典例1】函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为（????）

A．2.1 B．1.1 C．2 D．1

【变式1】函数y=1x

【变式2】函数y=

【变式3】函数是幂函数，则实数的值为．

【变式4】函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为（????）

A．3 B．2 C．1 D．4

【变式5】函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．，的大小无法确定

题型02同一函数在不同区间上变化快慢的比较

【典例2】已知函数f(x)x＋eq\f(1,x)，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并比较函数在两区间上变化的快慢．

【变式1】已知函数f(x)x2，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并比较函数在两区间上变化的快慢．

【变式2】某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示．

比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？

【变式3】若函数，，在上的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是

A． B．

C． D．

【变式4】（22-23高一上·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给