432等比数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版选择性.pptx

4.3.2等比数列的前n项和公式

数学小故事国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者。你发明了象棋，本王准备奖赏你，你想要什么？国王，我不想要金钱，我只想要一些麦子，请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.这有何难，本王答应你！

问题1：各个格子里的麦粒数依次是多少？问题2：发明者要求的麦粒总数是多少呢？等比求和问题?…问题3：国王能否实现他的诺言呢？①②思考：①式为什么要×2呢？乘其他数可以吗？

?探究新知①×q得：错位相减法

等比数列的前n项和公式等比数列前n项和公式：

练习：已知数列{an}是等比数列.

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不要忘记考虑q=1与q≠1两种情况.

例3已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，证明Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,成等比数列，并这个数列的公比.

1.已知数列{an}是等比数列.课本P37练习

2.已知a≠b，且ab≠0，对于n∈N*，证明：

4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64.求这个等比数列的首项和公比.5.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少?

思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n??S偶＝qS奇??

例5已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.

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等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)有什么样的函数特征？①当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.qn的系数与常数项互为相反数.知识总结

例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).

???所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.

规律总结(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2)将等差数列和等比数列分开：Tn＝c1+c2+…+cn＝(a1+a2+…+an)±(b1+b2+…+bn)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.数列求和方法：分组求和法

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规律总结

变式训练

?知识拓展