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江西省南昌市第十五中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标为（???）

A． B． C． D．

2．双曲线的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

3．若服从两点分布，，则（????）

A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77

4．如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（????）

A． B．

C． D．

5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（????）

A．24个 B．36个 C．72个 D．60个

6．若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

7．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（???）

A．1440种 B．1360种

C．1282种 D．1128种

8．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①平面截正方体所得的截面图形是五边形；

②直线到平面的距离是；

③存在点，使得；

④面积的最小值是.

其中所有正确结论的序号是（???）

A．②③ B．②④ C．①③ D．①④

二、多选题

9．已知直线，则（????）

A．若，则

B．若，则

C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则

D．当时，不经过第一象限

10．在的展开式中，下列说法正确的是（????）

A．所有二项式系数之和为 B．第4项的二项式系数最大

C．所有项的系数的和为 D．的系数是

11．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（????）

A． B．若，则

C．若，则的最小值为2 D．

三、填空题

12．如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为

??

13．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有种(用数字填写答案)

14．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.现用一个垂直于母线的平面去截一个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为.

四、解答题

15．（1）计算：；（结果用数字表示）

（2）解不等式：；

16．如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.

??

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值.

17．平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点满足．

(1)求点的轨迹方程；

(2)求过点且与圆相切的直线的方程．

18．ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个.

(1)在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列；

(2)给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被