有限长单位脉冲响应FIR滤波器的设计方法第4节.ppt

4.4FIR数字滤波器的最优化设计前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ejω)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的衡量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法、所需变量，然后再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有①最小均方误差准则②最大误差最小化准则。1)??均方误差最小化准则，若以E(ejω)表示逼近误差，则那么均方误差为

均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗则有在矩形窗内与理想的完全相同，窗外是不可控制的，此时误差最小，与其它窗函数相比矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。2)??最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）表示为其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值（或时域h(n)值），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)）都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。问题生成（4.81）算法（4.82）对于M阶滤波器，其极值点个数（4.76）估算公式（4.84）零相位滤波器作为研究对象（4.75）讨论对象：零相位滤波器假定滤波器的单位脉冲响应h(n)为对称于n=0的单位脉冲响应，且N为奇数，此时，线性相位因子a=0.令N=2M+1,M为任意正整数，则滤波器频率响应可写为对于零相位，要求h(n)=h(-n)，由于h(n)的对称特性，则式中，a(0)=h(0);a(n)=2h(n),n0。由上式可见，零相位滤波器的频率响应应是一纯实数。本节以此滤波器为例来讲解。设计目标：假定希望设计一个如图所示的滤波器，各个参数的含义低通滤波器的误差分配切比雪夫最佳一致逼近

切比雪夫最佳一致逼近如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：M、ωc、ωr、δ1、δ2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带0?ω?ωp内以最大误差δ1逼近1，在阻带ωr?ω??内以最大误差δ2逼近零。要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：1）给定M、δ1、δ2，以ωc和ωr为变量。缺点：边界频率不能精确确定。2）给定M、ωc和ωr，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算，使逼近误差δ1和δ2最小，并确定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。?等波动逼近的低通滤波器?c?r

一.误差函数定义逼近误差函数：为所设计的滤波器与理