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高一函数图像对称性及函数周期性作业

高中数学中函数图像的对称性主要以考查轴对称为主，关于点对称主要结合奇函数一起考查，对于轴对称，我们应该首先回忆以下初中学的点的横纵坐标对称，以及水平线、竖直线、轴对称等一些根底概念；而周期性那么是重点在于一些选择题、填空题里作为解题关键，考查周期的性质中“周期”性质运用为主。高中阶段对于函数对称性与周期性的学习，教师在授课过程中抓住先以图像分析为先掌握其真正含义再以数学符号的形式表现出来，最常用的轴对称及周期结合奇偶性的考查，记住对称与周期在自变量形式上的表达及求法即能学好此知识点.

1对称性根底回忆练习〔学习对称性注意数形结合〕

根底练习1在直角坐标系中，点：，，，，，

〔1〕在直角坐标系中找出以上点关于原点的对称点；

〔2〕在直角坐标系中找出以上点分别关于轴、轴、轴线以及轴线的对称点.

根底练习2写出以下函数的对称轴线方程：

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

根底练习3：

〔1〕写出关于轴对称的函数解析式；

〔2〕写出关于点对称的函数解析式.

2周期性质根底练习

练习1函数为周期函数，且为函数的一个周期，时，，求、

、、以及的值.

3周期性与对称性考点解析

周期性：考查周期性题型解答抓住周期函数定义，关键是否能找到非零实数使之恒成立，那么为函数一个周期，也为函数的一个周期.

常用抽象周期函数结论：函数在其定义域内的任一实数满足

〔1〕恒成立，那么是以为周期的周期函数；

〔2〕恒成立，那么是以为周期的周期函数；

〔3〕恒成立，那么是以为周期的周期函数；

〔4〕函数满足〔〕恒成立，假设为奇函数，那么其周期为，假设为偶函数，那么其周期为．

〔5〕函数的图象关于直线和都对称，那么函数是以为周期的周期函数

总结：周期函数模型很多，常用的为以上几种类型，可以发现，上述模型最终都可以推导出恒成立的形式，也就是说一个函数可以最终推断出等式两边变量相减为常数的形式〔可以结合图像分析〕，那么为周期函数，反之亦然.

例1函数对任意实数满足，假设，.

解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推到而出

解：由题意有，故函数是周期函数，其中一个周期为6，故

.

练习1函数对任意实数满足，假设，.

练习2函数对任意实数满足，当时，，.

例2函数对任意实数满足，假设，.

解析：周期函数模型，由题目恒等式推导出周期等式

解：由题意，那么，故

练习1函数对任意实数满足，假设，.

练习2函数对任意实数满足，假设，那么.

例3函数是以4为周期的奇函数，且当时，，那么.

解析：此题考查周期与奇偶性的结合，

解：

例4函数为定义在上的偶函数，且对于任意的满足，，那么.

解析：周期结合奇偶性，由奇偶性及题目等式推导出周期，然后求值

解：，故是周期为6的偶函数，

练习1函数是以3为周期的奇函数，且当时，，那么.

练习2函数是以5为周期的偶函数，且当时，，那么.

练习3函数为定义在上的偶函数，且对于任意的满足，，那么.

练习4函数为定义在上的奇函数，且对于任意的满足，，那么.

对称性：本章重点讲解轴对称，对于函数本身而言，从函数图像上分析轴对称必有对称轴，那么函数在恒等式中的表达即为等式两边的自变量相加为常数，常数的一半即为函数对称轴，对于函数之间的对称，可以通过图像分析得到.

二次函数对称轴：

抽象函数关于对称常用结论：

〔1〕〔本身对称〕

〔2〕与关于对称〔两个函数间对称〕

题型：

例1〔两函数对称求值〕函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.

解析：设为函数图像任意上一点，那么此点关于轴对称的点为，由题意此点必在函数的图像上，即有，由此可解出的解析式，进一步即能求得在上的最值.

解：由题意，由此可以得出在区间上单调递减，故最大值为，最小值为.

练习1定义域均为的函数，且，假设与的图像关于轴对称，求函数的值域.

例2〔函数本身对称〕函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，那么.

解析：由题意可以得出函数图像关于轴对称，故，随即可求出的值.

解：由题意函数的图像关于轴对称，故有，那么有

.

练习1函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，那么.