433等比数列的前n项和课件-高二上学期数学选择性.pptx

第1课时第4章等比数列的前n项和

复习：前面我们推导了等差数列的前n项和，同学们回忆一下，我们用的什么方法？倒序相加能不能用这种方法来求等比数列的前n项和呢？如果不能，我们该用什么方法求等比数列的前n项和？导语

合作探究一般地，设有等比数列{an}：它的前n项和是：(1)的两边乘以q(1)-(2)整理

等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn＝_______________公式二Sn＝_______________

求下列等比数列的前8项和：例1

跟踪训练1设此数列的公比为q(易知q≠1)，故此数列共有5项.

(1)当q≠1时，等比数列前n项和公式的结构特点：表达式只有qn和常数项两项，且两项的系数互为相反数，即Sn＝Aqn－A.注意点??

二等比数列中与前n项和有关的基本运算

在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；例2

(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，解得q＝2或q＝－2，跟踪训练2

(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根.

在等比数列{an}中.跟踪训练2∴q＝－2，

分组求和法三

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上.(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？例3因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝3an，所以an＋1＝4an.又当n＝1时，a2＝3S1＋1，即a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)

反思感悟若cn＝an＋bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可.分组求和的适用题型

已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2.(1)求数列{an}的通项公式；跟踪训练3因为数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝2，所以数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为2，因此，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.