高考数学创新人教A版全国通用讲义第二章函数概念与基本初等函数I第1节.doc

第1节函数及其表示

必威体育精装版考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).

知识梳理

1.函数与映射的概念

函数

映射

两个集合

A，B

设A，B是两个

非空数集

设A，B是两个

非空集合

对应关系

f：A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

函数y＝f(x)，x∈A

映射：f：A→B

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

[常用结论与微点提醒]

1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.

2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.

3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()

(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()

(3)f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)是一个函数.()

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()

解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.

(2)错误.值域C?B，不一定有C＝B.

(3)错误.f(x)＝eq\r(x－3)＋eq\r(2－x)中x不存在.

(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()

解析A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].

答案B

3.(2018·深圳模拟)函数y＝eq\f(\r(－x2－x＋2),lnx)的定义域为()

A.(－2，1) B.[－2，1] C.(0，1) D.(0，1]

解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－x＋2≥0，,lnx≠0，,x0，))解得0x1.

答案C

4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x），x1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)＝()

A.3 B.6 C.9 D.12

解析根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log2121，

∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，

因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.

答案C

5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________.

解析由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.

答案－2

考点一求函数的定义域

【例1】(1)(2018·九江七校联考)函数y＝eq\f(\r(9－x2),log2（x＋1）)的定义域是()

A.(－1，3) B.(－1，3]

C.(－1，0)∪(0，3) D.(－1，0)∪(0，3]

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)的定义域为________.

解析(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9－x2≥0，,x＋10，,x＋1≠1))?－1x≤3且x≠0.

(2)因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，

所以要使g(