格林公式及其应用.pptVIP

第三节格林公式及其应用(2)一、曲线积分与路径无关的定义二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结

例.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式

Gyxo一、曲线积分与路径无关的定义:BA如果在区域G内有

如果与路径无关,再注意一下曲线积分的方向,可把上式写成DL1ABL2Lˉ2xy

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即

证明(1)(2)说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))

证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数

证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有

证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕

说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;

解:

例7.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则

例8.验证在xoy平面内是某个函数的全微分,并求出这个函数。证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。

例9.验证在右半平面(x0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数

或

重要结论:在D内存在某一函数连续偏导数,若D中任一分段光滑曲线L,曲线积分设D是单连通域,为A,止点为B,则函数与路径无关,只与起止点有关，记起点具有一阶,贰壹叁

解一:

解法二：

内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有

思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:

2.设提示:作业P2131(1);2(1)(2)3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)

备用题1.设C为沿从点依逆时针的半圆,计算解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点

2.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)F的大小等于点M在此过程中受力F作用,