2025高考数学一轮复习-向量中的最值(范围)问题【课件】.pptx

第五章平面向量、复数补上一课向量中的最值(范围)问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.

题型一与系数有关的最值(范围)解析在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝1＋4－2×1×2·cos60°＝3，所以AB⊥BC，则AC为△ABC外接圆的直径.以线段AC的中点为坐标原点O，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

感悟提升此类问题的一般解题步骤是第一步：利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最值.

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题型二与数量积有关的最值(范围)A

感悟提升数量积最值(范围)的解法：(1)坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.(2)向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.

题型三与模有关的最值(范围)B解析依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).

感悟提升求向量模的最值(范围)的方法，通常有：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解.

训练3已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________________.解析a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，

题型四与夹角有关的最值(范围)B

感悟提升求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等式或函数的性质进行.

解析如图建立直角坐标系，

拓展视野极化恒等式

解析设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，因为A，B，C三点在圆上，所以CD长度最大为r＋d，其中d为圆心O到弦AB的距离，

D

课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIAN

A解析设a＋b，c的夹角为θ，

C

C解析在平面直角坐标系xOy中，不妨设a＝(1，0)，b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)，则a·b＝x1＝1，a·c＝x2＝－1，b·c＝x1x2＋y1y2＝y1y2－1＝0，当且仅当y1＝±1时等号成立.因此，|b＋c|的最小值为2.

D

A

D解析法一由题意可设a＝(0，1)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，则a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)，由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，

A解析建立如图所示的平面直角坐标系，

D解析因为平面向量a，b满足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，

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5解析取BC的中点O，∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

C

B

过点D作DP∥AC交BC于点P，过点P作PE∥AD交AC于点E，