2025高考数学一轮复习-与球有关的切、接问题【课件】.pptx

第七章立体几何与空间向量

补上一课与球有关的切、接问题

研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.

题型一定义法

D

则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，

又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

所以BC⊥PB，

所以△PBC为直角三角形，

又△PAC为直角三角形，

所以PC是三棱锥P－ABC外接球直径，

设O是PC的中点，即为球心，

又AC＝4，PA＝2，

A

解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为

设球O的半径为R，该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，

连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.

所以R2＝25，所以该球的表面积为S＝4πR2＝100π，

综上，该球的表面积为100π.

感悟提升

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

C

解析由题意作图如图，过球O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，

∴BC＝5，

题型二补形法

A

解析设PA＝PB＝PC＝2x，E，F分别为PA，AB的中点，

过点P作PD⊥AC于点D.

∵PA＝PC，∴D为AC的中点，

又AB＝BC＝AC＝2，

∴PA，PB，PC两两垂直，

即三棱锥P－ABC是以PA，PB，PC为棱的正方体的一部分，

感悟提升

解析在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径.

设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，

34π

解析根据题意，三棱锥P－ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，

设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，

则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，

解得a＝3，b＝3，c＝4.

所以该三棱锥的外接球的半径

题型三截面法

例3(1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为()

A.12π B.16π C.20π D.32π

B

解析如图，连接AC，BD，AC∩BD＝G，

取AD的中点E，连接PE.

∵四边形ABCD为矩形，

∴G为四边形ABCD的外接圆圆心；

∵△PAD为等边三角形，∴M为△PAD外接圆圆心，

过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线，则两垂线的交点即为球O的球心O，连接OP，

∵△PAD为等边三角形，∴PE⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG；

同理可得，OM∥EG，∴四边形OMEG为矩形；

∴球O的表面积S＝4πR2＝16π.

(2)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()

D

解析依题意知，当健身手球与直三棱锥的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.

则健身手球的最大直径为4.

因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球.

感悟提升

D

设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A，

如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B.

则OA＝O1B＝2.

设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，

B

解析如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1,即AD＝3BD，设球的半径为R，

所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，

所以BD＝1，AD＝3.

因为CD⊥AB，

则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，

所以∠CAD＝∠BCD，

又因为∠ADC＝∠BDC，

所以△ACD∽△CBD，

课时分层精练

KESHIFENCENGJINGLIAN

C

解析设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，

则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，

2.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为()

A.π B.2π C.3π D.4π

C

解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外