全优课堂·数学·必修第二册(人教A版) 课后提能训练 试题及答案 6.4.3　第1课时.docx

第六章6.46.4.3第1课时

A级——基础过关练

1．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，cosA＝eq\f(5,6)，则BC＝()

A．1 B．eq\r(5)

C．eq\f(\r(5),3) D．eq\f(\r(15),3)

【答案】B

【解析】在△ABC中，AB＝3，AC＝1，cosA＝eq\f(5,6)，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a2＝12＋32－2×1×3×eq\f(5,6)＝5，故BC＝a＝eq\r(5)．故选B．

2．(2024年揭阳揭东区期中)在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么A等于()

A．150° B．120°

C．60° D．30°

【答案】C

【解析】根据题意，∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，则cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)．又∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．故选C．

3．(2024年兴化市期中)在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶3∶4，则cosC＝()

A．－eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)

C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)

【答案】A

【解析】因为a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4k2＋9k2－16k2,2×2k×3k)＝－eq\f(1,4)．故选A．

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(c2－a2－b2,2ab)＞0，则△ABC()

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形

【答案】C

【解析】由eq\f(c2－a2－b2,2ab)＞0，得－cosC＞0，所以cosC＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．

5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()

A．eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3)

C．1 D．eq\f(2,3)

【答案】A

【解析】由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4．由余弦定理，a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝eq\f(4,3)．

6．在锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()

A．1＜a＜3 B．1＜a＜5

C．eq\r(3)＜a＜eq\r(5) D．不确定

【答案】C

【解析】若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜eq\r(5)．若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞eq\r(3)．故eq\r(3)＜a＜eq\r(5)．

7．(2024年东莞期中)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝eq\r(13)，则b＝________．

【答案】1

【解析】因为C＝60°，a＝4b，c＝eq\r(13)，由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(16b2＋b2－13,2×4b·b)＝eq\f(17b2－13,8b2)＝eq\f(1,2)，解得b＝1或b＝－1(舍去)．

8．(2024年揭阳期中)在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大内角为120°，则该三角形的周长为________；最小角的余弦值为________．

【答案】30eq\f(13,14)

【解析】由a－b＝4，a＋c＝2b，得b＝a－4，c＝a－8，所以a＞b，a＞c，即a是最长边，所以角A最大．由余弦定理的推论，得cos120°＝eq\f(?a－4?2＋?a－8?2－a2,2?a－4??a－8?)，解得a＝14(a＝4舍去)，所以b＝10，c＝6，故△ABC的周长为30．最小内角为C，cosC＝eq\f(142＋102－62,2×14×10)＝eq\f(260,2×14×10)＝eq\f(13,14)．

9．在△ABC中，边a，b，c满足a＋b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为________．

【答案】3eq\r(3)

【解析】a＋b＝6，∠C＝120°，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝9，当且仅当a＝b时取等号．由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝36－ab≥36－9＝2