高考数学 平移齐次化解决圆锥曲线中斜率和积问题与定点问题（解析版）.pdfVIP

圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)

1.真题回顾

2020新高考I卷

2.题型梳理

题型1：已知定点求定值

题型2：已知定值求定点

【例题】2

x2

已知椭圆+y=1，设直线l不经过P(0,1)点且与C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率

222

4

的和为-1，证明：l过定点．Q(2,-1)

【平移+齐次化处理】

Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理

将椭圆向下平移一个单位，(为了将P(0,1)平移到原点)

2

2

x2

椭圆方程化为C:+(y+1)=1，(左加右减，上减下加为曲线平移)

4

122

设直线l对应的直线l′为mx+ny=1，椭圆方程化简为x+y+2y=0，

4

把一次项化成二次结构，将2y乘上mx+ny即可

122212

此时椭圆方程变成：x+y+2ymx+ny=0⇒2n+1y+2mxy+x=0

44

Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系

由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为-1，而P点此时为原点，设平移后的A(x,y),B(x,y)，

2AABB

y-0y-0

即A+B=-1,

x-0x-0

AB

2y21

将椭圆方程两边同除以x，令k=，得2n+1k+2mk+=0，

x4

2m

结合两直线斜率之和为-1，即k+k=-1=-1，得2m=2n+1，∴m-2n=1，

2

2n+1

Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!

∴直线l′恒过点Q′(2,-2)，向上平移一个单位进行还原

在原坐标系中，直线l过点Q(2,-1)．

【手电筒模型·1定+2动】22

xy

直线y=kx+m与椭圆+=1ab0交于A，B两点，P(x,y)为椭圆上异于AB的任意一点，

22