机械动力学-4PPT课件.pptx

第-四章

多自由度机械系统动力学

由于各种自动机和机器人的出现，多自由度系统的应用越来越广泛。本章研究多自由度机械系统的动力分析。在单自由度机械系统中，只有一个主动构件。所以，在分析单自由度机械系统的动力学时，可以采用一个等效构件，用等效构件的运动来代表原有的机械系统的运动。但是，在多自由度机械系统中这种方法不再适用。基于多自由度系统分析的需要，目前已提出了多种通用性很强的动力学建模方法。

§4.1二自由度机械系统动力分析

如五杆机构图所示，有两个主动构件1,4,是一个二自由度机构。这两个主动构件的运动确定后，整个机构的运动便确定了，因而可取

这两个构件的角位移为广义坐标，即=φ₁系统的拉格朗日方程为

。二自由度

92=44

n)

一、二自由度系统的运动分析

要计算系统的动能，必须知道各构件的角速度和质心速度。因而，必须先进行系统的运动分析。根据机构运动学的知识可导出

9;=φ;(q₁,q₂)(4.2.2)

(4.2.3)

式中，φ;为构件j的角位移，xs;、ys;为构件j的质心S;在坐标轴x、y方向的坐标。它们都是广义坐标q₁、42的函数。

将式(4.2.2)、式(4.2.3)对时间求导，即可导出构件j的角速度φ;,质心S;在坐标轴x、y方向的速度rs;、ys;。它们均表达为广义坐标q₁、q₂和广义速度q₁、92的函数；

(4.2.4)

(4.2.5)质心S;的速度为

vs;=√x²+ys(4.2.6)

因而，动能Ek可表达为广义速度的二次齐式。由式(4.2.9)可看出，系数J₁、J₁2、J₂2

均具有转动惯量的量纲，称为二自由度系统的等效转动惯量。由式(4.2.9)还可看出，等效转动惯量J₁、J₁2、J22是系统的儿何参数、惯性参数和广义坐标的函数，因而也是时间的函数，但与广义速度无关。

J、J22分别与两个主动件有关，而J₁2则与两个主动件同时有关。因而可以理解，二自由度机械系统不能用将能量和功都折算到某一等效构件上去的方法进行动力分析。

(4.2.7)

(4.2.8)

(4.2.9)

(4.2.10)

二、系统动能的计算

具有n个构件的平面机构的动能为

将式(4.2.5)、式(4.2.6)代入式(4.2.7),得到

则系统动能可表达为

令

三、广义力的确定

广义力可根据虚功原理来确定。对于二自由度系统，若能将主动力的虚功δW直接表达成与两个广义虚位移δq₁、δq₂的关系

oW=F₁8q;+F₂0q₂(4.2.11)

则广义虚位移前的系数F、F₂即为所对应的广义力。

在工程实际问题中，虚位移转化为实位移，虚速度转化为真实速度。如果对一二自由度系统能直接写出主动力的功率P与广义速度、Q₂的关系式

P=F₁4:+F₂42(4.2.12)则广义速度前的系数F₁、F₂即为所对应的广义力。在这个五杆机构中，广义力就是作用在两个主动构件上的驱动力矩，即F₁=M,F₂=M₂。

四、运动微分方程

首先推导拉格朗日方程(4.2.1)中所需要的动能对广义坐标和广义速度的偏导数。由式

五、运动微分方程的求解

式(4.2.14)为二阶非线性微分方程。这类方程一般无法用解析法求得显式解，而需采用

将式(4.2.13)代入拉格朗日方程(4.2.1),经整理，即得到所求二自由度机械系统的运

数值法近似求解。常用的数值解法为四阶龙格一库塔法。

(4.2.10)求导，可得

动微分方程

(4.2.13)

(4.2.14)

倒题4.2.1图4.2.2所示为一差动轮系。已知各轮齿数分别为z₁、22\x₃和z₄,且具有相同的模数；中心

轮I、4对其中心的转动惯景分别为J;和J4;固联的行星轮2、3齿轮组的质量为mz₃,它们绕自身轴线的转动惯量为J₂;系杆H对中心轴线O₁O₄的转动惯量为J。设作用在轮1、4和系杆H上的力矩分别为M、M₃和Mr,它们可能为各种运动参数(如转角、角速度或时间)的函数。试列出此差动轮系在上述力矩作用下的运动微