专题 证明圆的切线的常用方法（六大题型）（解析版）.pdfVIP

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》

专题证明圆的切线的常用的方法

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：

1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接

起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.

2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的

垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.

类型一：有公共点：连半径，证垂直

●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重

合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．

求证：EF是⊙O的切线；

【分析】连接OF，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠B+∠C＝90°，然后利用等腰三角形的性

质可得∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，从而可得∠OFB+∠EFC＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE＝90°，

即可解答；

【解答】证明：连接OF，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠B+∠C＝90°，

∵OB＝OF，EF＝EC，

∴∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，

∴∠OFB+∠EFC＝90°，

∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，

∵OF是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线：

【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键．

【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行

线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．

求证：BD是⊙O的切线；

【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；

【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵DG∥BC，

∴∠AGE＝∠ACB＝90°，

∴∠A+∠AEG＝90°，

又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，

∴∠D+∠DEB＝90°，

∴∠DBE＝90°，

∴AB⊥BD，

∵AB为直径，

∴BD与⊙O相切；

【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．

【变式】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分

1-2

∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．

【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．

【解答】证明：∵CA平分∠ECD，

∴∠ECA＝∠DCA．

∵CD⊥AB，

∴∠CAD+∠DCA＝90°，

∴∠ECA+∠CAD＝90°．

∵OA＝OC，

∴∠CAD＝∠ACO，

∴∠ECA+∠ACO＝90°，

即∠OCE＝90°，

∴OC⊥EC，

∵OC是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线．

【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．

【变式】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC

1-3

＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

（1）求证：MN是半圆的切线．

（2）求证：FD＝FG．

【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；

（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+

∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是

∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．

【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°．

又∵∠MAC＝∠ABC，

∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，

∴MA⊥AB．

∴MN是半圆的切线．

（2）∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

而DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，

∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，

∴∠3＝∠5，

∴∠1＝∠4，

而∠2＝∠4，

∴∠1＝∠2，

∴F