《高等数学》课件 第三章 导数与微分.ppt

一、计算函数增量的近似值例1解二、计算函数的近似值例1解常用近似公式证明例2解四、小结近似计算的基本公式练习题练习题答案练习题练习题答案

第七节函数的微分一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?二、微分的定义定义(微分的实质)由定义知:三、可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性例1解四、微分的几何意义MNT）几何意义:(如图)P五、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例2解六、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例4解例3解

七.高阶微分

若函数是复合函数

例5八、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★思考题思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.练习题练习题答案

第八节微分的应用3.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例7解三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.思考题设连续，且，求.思考题解答可导不一定存在故用定义求练习题练习题答案

第六节隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:例4解等式两边取对数得例5解等式两边取对数得一般地三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例6解所求切线方程为例7解例8解四、相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例9解仰角增加率五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.思考题思考题解答不对．思考题思考题解答正确地选择是（3）例在处不可导，取在处可导，在处不可导，取在处可导，在处可导，练习题练习题答案

第四节初等函数的求导一、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu￠￠=￠)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常数)3.复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例1解例2解二、双曲函数与反双曲函数的导数即

例3解三、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初