《高等数学》课件 第四章 微分中值定理及其应用.ppt

练习题答案1图2图二、3图三、

第九节曲率一、弧微分规定：??单调增函数如图，?

弧微分公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率的定义))yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率2、曲率的计算公式注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.例1解显然,例2证如图（（在缓冲段上,实际要求例3??解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径??得曲率为曲率半径为即:座椅对飞行员的压力为641.5千克力.四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).思考题椭圆上哪些点处曲率最大？思考题解答要使最大，必有最小，此时最大，练习题练习题答案

第十节方程的近似解例4解四、小结曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.拐点的求法1,2.思考题思考题解答例练习题练习题答案第五题图

第八节函数图形的描绘一、渐近线定义:1.铅直渐近线例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线斜渐近线求法:注意:例1解二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步三、作图举例例2解非奇非偶函数,且无对称性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点作图例3解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点例4解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值极小值四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减思考题思考题解答练习题练习题练习题答案

第六节函数的最大值与最小值一、最值的求法步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;二、应用举例例1解计算比较得

2．ｆ（ｘ）在某区间Ｉ上可导，ｘ０为Ｉ内唯一的驻点，则若ｘ０为ｆ（ｘ）的极大（小）值点，ｘ０为ｆ（ｘ）的最大（小）值点．3.在实际问题中，往往根据问题的性质就可以确定可导函数f(x)有最大值或最小值，且在函数的定义区间内取得。这时如果函数f(x)只有唯一的驻点，则不必讨论f(x0)是否是极值，可直接断定f(x0)是最大值或最小值。例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点三、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但练习题练习题答案

第七节曲线的凹凸与拐点一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义

二、曲线凹凸性的判定定理1设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上为凹函数的充分必要条件是f’(x)在(a,b)上单调增.

证:设f(x)为凹函数，

设

定理2例1解注意到,三、曲线的拐点及其求法1、定义注意:拐点在曲线上.2、拐点的求法证定理4:例2解凹的凸的凹的拐点拐点定理5:例3解注意:例3解例4解例5证三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成