第1节 数列通项的核心求法（无答案）.docx

模块二求通项与求和

第1节数列通项的核心求法

内容提要

求通项是数列板块的核心问题之一，本节归纳几种常见的求通项的题型.

1.累加法：若数列{an}满足递推公式。a?-a???=

①取n=2,3,…,n得至

②将以上各式累加得an-a

③上面求出的an只在n≥2时成立，所以最后单独验证a?是否满足该结果.

2.累乘法：若数列{an}满足递推公式anan-

①将递推公式anan-1=fn

②将上述n-1个式子累乘可得ana1

③上面求出的an只在n≥2时成立，所以最后单独验证a?是否满足该结果.

3.带提示的构造法：若题干给出数列{an}的递推公式，让我们先证明与an有关的某数列为等差数列或等比数列，再求{an}的通项公式.这类题要证的结论其实是提示了我们该怎样构造新数列，证出结论后，可先求出构造的新数列的通项，再求{an}.

4.待定系数法构造：有的题目只给了递推公式，没有提示如何构造，我们可根据递推公式的结构特征，用待定系数法来构造新的等差或等比数列，求出通项.

5.等价变形：若题干给出的递推公式较复杂，则可对递推公式变形，化简递推公式，或通过变形构造出新数列来求通项.

典型例题

类型Ⅰ：累加法求通项

【例1】已知数列{an}满足a?

解：(看到a?

由题意，当n≥2时，将以上各式累加可得an

结合a?=1

又a?=1

【反思】遇到a?

【变式1】已知数列{an}满足a?=2,

解:(把nan看作bn,则(n+1a???即为

设b?=na?,则b?

所以当n≥2时，b2-b

故b

又b?=2也满足上式，所以?n∈N?,都有b?=2?

【变式2】已知数列{an}满足a?=1,

解：(本题不是a???-

因为a???-3a

(若将an3n看成bn，则式①即为

令bn=an3n

所以当n≥2时，b

各式累加得b

所以bn=23-2

因为bn=an3n,

【总结】像a???-a?=fn这类递推公式，可考虑用累加法求an，.而对于a

类型Ⅱ：累乘法求通项

【例2】已知正项数列{an}满足a1

解：(将所给递推公式变形，即可得到an

因为an+1

故当n≥2时,a

各式累乘得a2a1

又a?=1,所以a?=n?3??

【变式】在数列{an}中,a1=1,

解析：本题给的是an+2an,不是an+1an,但结构相近，我们也试试用累乘法，看能得出什么结果，由题意，an+2an=n+1

我们发现累乘后没有求出an，而是求出了ana，，，，而本题要求的恰好也就是数列.a?a???,

答案:9900

【总结】若给出an+1an=fn

类型Ⅲ：带提示的构造法求通项

【例3】已知数列{an}满足a1=1,an+

解：(要证{b?}是等差数列，只需证b???

(要进一步计算此式，可将递推公式代入，消去an+?再化简)又an

所以{b?}是公差为2的等差数列，(只要再求出b?，就能代等差数列通项公式求得bn，进而求得an)

因为a?=1,所以b1=22a1-

【变式】已知数列{an}满足a1=1,an-a

解：(要证an2+1an2是等差数列，只需证

由题意，当n≥2时，an-an-1=1an+1an-1,所以an-1a

(观察上式发现将右侧的-2移至左侧，可构成完全平方式，开根号即可降次)

所以an2+1an

(取正还是取负?注意到题干a?

因为a?=1,且

故an+1a

由②可求得an

若an=

与①矛盾，所以a

【例4】数列{an}满足a1=2,an+1-4an=2n+1n∈N*,证明a?+2?是等比数列，并求{an}的通项公式.解：(要证a?+2?是等比数列，只需证an+1+2n+1an+2n为常数，故将条件往

【反思】在证明{b?}为等比数列时，得到b???=

【变式】已知数列{an}满足a?=1,a?=x

解：(要看{b?}是否为等比数列，就看是否满足bn

因为a???

=2a??

因为a?=1

当x=2时,b?

当x≠2时,b?≠0,

【总结】上面两道例题及变式都是让我们先证等差、等比数列，再求通项an.这类题可根据结论的提示对所给递推公式变形.而有些题没有提示，这就需要我们自己用待定系数法构造新数列，如下面的类型Ⅳ.

类型Ⅳ：待定系数法构造

【例5】数列{an}中,a1=

解：(本题未提示如何构造，可用待定系数法发掘，注意到递推式中除a???和an，余下的为关于n的一次a???函数,这种结构的前后项可设为An+B和A(n+1)+B,故设a???+An+1+

因为a???=

(此时还不能下结论a?

又a?=2,所以