2024_2025学年高中数学第1章立体几何初步1_5_2_1直线与平面平行的性质学案北师大版必修2 .pdf

直线与平面平行的性质

宓课前自主预习

要点梳理

直线和平面平行的性质定理

如果一条直线与一个平面至，那过该直

文字语言线的任意一个平面与已知平面的交线与该直

线平行

图形语言

符号语言1//anb

思考诊断

1.如图，直线/〃平面。，直线a平面a,直线/与直线a肯定平行吗？为什？

［答案］不肯定，因为还可能是异面直线.

2.如图，直线3〃平面直线a平面平面。C平面£=直线力，满意以上条

件的平面B有多少个？直线力有什位置关系？

［答案］多数个.a//b.

［B课堂互动探究

题型一线面平行的性质定理的应用

【典例1】如图，用平行于四面体力时的一组对棱如，⑦的平面截此四面体，求证:

截面如物是平行四边形.

［思路导引］要证明妣0是平行四边形，只需证明一组对边平行且相等或两组对边分

别平行即可.

［证明］因为如〃平面妣0,平面/此n平面用。=洌且也平面如。

所以由线面平行的性质定理，知AB//MN.

同理朋〃户0,

所以MN//PQ.同理可得MQ//NP.

所以截面如夕0是平行四边形.

RPAM

［引申探究］⑴若本例条件不变，求证：为=而

⑵若本例中添加条件：ABLCD,力£=10,CD=8,且BP：PD=\：\,求四边形如物的

面积.

［解］(1)证明:由典例1知:PQ〃AB,：•金攵

rUkJU

,AQ_AM.BP_AM

又QM//DC,，切=衣••万=衣

⑵由典例1知，四边形如物是平行四边形,

•:ABLCD,:.PQLQM,..•四边形如物是矩形.

又BP：PD=\：...四=5,QM=,

.•・四边形如用的面积为5X4=20.

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再找寻过已知直线的平面与平面相交

的直线，然后确定线线平行，证题过程应仔细领悟线线平行与线面平行的相互关系.

［针对训练1］如图，正方体ABCD—A\Bm中，AB=2,点8为应?的中点，点夕在⑦

上，若涉〃平面物C,则线段涉的长度等于.

［解析］•:EFII平面/3C,又平面应?CC平面ABiC=AC,EF平面成?C,

:.EF//AC,是，〃的中点，

・•・EF=AC=X2吏=吏.

［答案］吏

题型二线面平行性质定理与判定定理的综合应用

【典例2】求证：假如一条直线和两个相交平面都平行，那这条直线和它们的交线

平行.

［思路导引］利用线面平行的性质定理在面中找到与线平行的直线，然后利用平行公理

4,证明线线平行.

［证明］已知直线公1,平面a、占满意aC」=1,a//a,allB、求证：a//1,

如图所示，过a作平面/交平面。于

Va//cl,a//b.同样过a作平面8交平面£于s

*.*a//B，a//c.则b//c.

又b—,B,cB,:・b〃B.

又•：ba,aClW=7,:.b//1,

又Va//b,a//1.

|名师提醒A

(1)已知线面平行，一般干脆考虑应用性质，利用构造法找或“作出经过直线的平面

与已知平面相交的交线.

(2)要证线线平行，可把它们转化为线面平行.

［针对训练2］如图所示，在△力尿所在平面外有一点P,