无穷区间上的反常积分简介.ppt

6.4无穷区间上的反常积分简介6.4.1无穷区间上的反常积分的概念6.4.2无穷区间上反常积分计算举例一、无穷区间上的广义积分例1求由曲线y=e-x，y轴及x轴所围成开口曲边梯形的面积.解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取b?[0,+?)，在有限区间[0,b]上，以曲线y=e-x为曲边的曲边梯形面积为by=e-xyxO(0,1)开口曲边梯形的面积y=e-xyxbO(0,1)即当b?+?时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，定义1设函数f(x)在[a,+?)上连续，取实数ba，如果极限则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+?)上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义2设函数f(x)在(-?,b]上连续，取实数ab，如果极限则称此极限值为函数f(x)在无穷区间(-?,b]上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义3设函数f(x)在(-?,+?)内连续，且对任意实数c，如果广义积分则称上面两个广义函数积分之和为f(x)在无穷区间(-?,+?)内的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即都收敛，否则称广义积分发散.若F(x)是f(x)的一个原函数，并记01则定义1，2，3中的广义积分可表示为02例2求由于当x?+?时，sinx没有极限，所以广义积分发散.例3判断解解例4计算解用分部积分法，得例5判断解故该积分发散.所以该反常积分发散.当p1时，收敛；当p≤1时，发散.例6证明反常积分证p=1时，则当p1时，01综合上述，02该反常积分收敛.03当p≤1时，04该反常积分发散.05p?1时，则06定义4设函数f(x)在区间(a,b]上连续，取e0，如果极限则称此极限值为函数f(x)在区间(a,b]上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且记作即存在，二、无界函数的广义积分定义5设函数f(x)在区间[a,b)上连续，取e0，如果极限则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b)上的反常积分.这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且即存在，定义6设函数f(x)在[a,b]上除点c?(a,b)外连续，如果下面两个反常积分则称这两个反常积分之和为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.记作即都收敛，