2025年高考数学二轮复习课件 微切口3　概率统计中的最值问题——极大似然估计.docxVIP

超几何分布中求最值

例1某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，分别统计他们的数学成绩，得到了如图所示的两个频率分部直方图．

线上考试线下考试

(例1)

其中(50，70]称为合格，(70，90]称为中等，(90，110]称为良好，(110，130]称为优秀，(130，150]称为优异．

(1)根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分(同一组数据可取该组区间的中点值代替)；

【解答】(1)线上考试同学的平均分为(60×0.005＋80×0.0175＋100×0.02＋120×0.005＋140×0.0025)×20＝93(分)；线下考试同学的平均分为(60×0.0075＋80×0.0125＋100×0.015＋120×0.01＋140×0.005)×20＝97(分).又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60%，所以这200名同学的平均分为eq\f(93×200×40%＋97×200×60%,200)＝95.4(分).

(2)现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大；

【解答】线上同学成绩良好的人数为0.02×20×200×40%＝32，线下同学成绩良好的人数为0.015×20×200×60%＝36，因为抽取的数学成绩为良好，且eq\f(32,200)＜eq\f(36,200)，所以来自线下的可能性大．

(3)现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．

【解答】由线下成绩中等同学人数为0.0125×20×200×60%＝30，其他同学90人，所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,30)Ceq\o\al(10－k,90),Ceq\o\al(10,120))，1＜k＜10且k∈N*.要使P(X＝k)最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(P(X＝k)＞P(X＝k－1)，,P(X＝k)＞P(X＝k＋1)，)))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(k,30)Ceq\o\al(10－k,90),Ceq\o\al(10,120))＞\f(Ceq\o\al(k－1,30)Ceq\o\al(11－k,90),Ceq\o\al(10,120))，,\f(Ceq\o\al(k,30)Ceq\o\al(10－k,90),Ceq\o\al(10,120))＞\f(Ceq\o\al(k＋1,30)Ceq\o\al(9－k,90),Ceq\o\al(10,120))，)))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k2＋80k＜k2－42k＋341，,k2－40k＋300＜k2＋82k＋81，)))解得eq\f(219,122)＜k＜eq\f(341,122)，又k∈N*，故k＝2.

超几何分布的概率最值

将从次品数为a的(a＋b)件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点，总数为Ceq\o\al(n,a＋b)，其中次品出现k次的可能为Ceq\o\al(k,a)Ceq\o\al(n－k,b)，令N＝a＋b，则其概率为hk(N)＝eq\f(Ceq\o\al(k,a)Ceq\o\al(n－k,N－a),Ceq\o\al(n,N))，eq\f(hk(N),hk(N－1))＝eq\f(\f(Ceq\o\al(k,a)Ceq\o\al(n－k,N－a),Ceq\o\al(n,N)),\f(Ceq\o\al(k,a)Ceq\o\al(n－k,N－1－a),Ceq\o\al(n,N－1)))＝eq\f(N2－aN－nN＋an,N2－aN－nN＋kN).令eq\f(hk(N),hk(N－1))＝λ，则当an＞kN时，λ＞1；当an＜kN时，λ＜1，即当N＜eq\f(an,k)时，hk(N)是关于N的增函数；当N＞eq\f(an,k)时，hk(N)是关于N的减函数．所以当N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(an,k)))时，hk(N)达到最大值．

二项分布中求最值