2025年高考数学二轮复习课件 微切口3　数列的重构问题.docxVIP

微切口3数列的重构问题

公共项问题

例1(1)我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn}，把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则(B)

A．a3＋b5＝c3 B．b28＝c10

C．a5b2＞c8 D．c9－b9＝a26

【解析】根据题意，数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，an＝2＋3(n－1)＝3n－1；数列{bn}是首项为2，公差为5的等差数列，bn＝2＋5(n－1)＝5n－3.数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，故数列{cn}是首项为2，公差为15的等差数列，cn＝2＋15(n－1)＝15n－13.对于A，a3＋b5＝(3×3－1)＋(5×5－3)＝30，c3＝15×3－13＝32，a3＋b5≠c3，故A错误．对于B，b28＝5×28－3＝137，c10＝15×10－13＝137，b28＝c10，故B正确．对于C，a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝98＜107＝c8，故C错误．对于D，c9＝15×9－13＝122，b9＝5×9－3＝42，a26＝3×26－1＝77，c9－b9＝122－42＝80≠77＝a26，故D错误．

(2)(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(BC)

A．an＝5n

B．an＝5n

C．{an}的前n项和为eq\f(5(5n－1),4)

D．{an}的前n项和为eq\f(5(25n－1),24)

【解析】令4n＋1＝5m(n，m∈N*)，所以n＝eq\f(5m－1,4)＝eq\f((4＋1)m－1,4)＝eq\f(4m＋Ceq\o\al(1,m)·4m-1＋…＋Ceq\o\al(m-1,m)·4,4)∈N*(m＝2，3，…)，当m＝1时，n＝1，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an＝5n(n＝1，2，3…)，所以{an}的前n项和为eq\f(5(1－5n),1－5)＝eq\f(5(5n－1),4)，故B，C正确，A，D错误．

在两个数列的公共项问题中，可以有两种方法：

(1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；

(2)周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．

增减项问题

例2－1已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且3a2＋2a3＝S5＋6.

(1)若数列{Sn}为递减数列，求a1的取值范围；

【解答】设等差数列{an}的公差为d.因为3a2＋2a3＝S5＋6，所以3(a1＋d)＋2(a1＋2d)＝5a1＋10d＋6，解得d＝－2，所以Sn＝－n2＋(a1＋1)n.若数列{Sn}为递减数列，则Sn＋1－Sn＜0对于n∈N*恒成立，所以Sn＋1－Sn＝[－(n＋1)2＋(a1＋1)(n＋1)]－[－n2＋(a1＋1)n]＝a1－2n＜0在n∈N*上恒成立，则a1＜2n，所以a1＜(2n)min.又(2n)min＝2×1＝2，所以a1＜2，故a1的取值范围为(－∞，2).

(2)若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，求T95.

【解答】若a1＝1，则an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，根据题意，数列{bn}分组为第一组：1，20；第二组：－1，20，21；第三组：－3，20，21，22；…；第k组：－2k＋3，20，21，22，…，2k-1，则前k组一共有2＋3＋4＋…＋(k＋1)＝eq\f((k＋3)k,2)项．当k＝12时，项数为90，故T95相当于是前12组的和再加上－23，20，21，22，23这五项，即T95＝[1＋(－1)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)]＋(－23＋20＋21＋22＋23).设cn＝2n－1，则20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)可看成是数列{cn}的前12项和，所以T95＝eq\f((1－21)×12,2)＋eq\f(2×(1－212),1－2)－12－23＋1＋2＋4＋8＝213－142＝8050.

例2－2