1.2 子集、全集、补集-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)（解析版）.docx

1.2子集、全集、补集

一、子集的概念与性质

1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．

【注意】

（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．

（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．

例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2?B，所以A不是B的子集；

同理，因为3∈B，但3?A，所以B也不是A的子集．

2、子集的性质

（1）任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A.

（2）如果A?B，B?C，则A?C，即子集具有传递性。

（3）空集是任意一个集合的子集，??A

二、真子集的概念与性质

1、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)

2、真子集的性质

（1）如果AB，BC，则AC.

（2）空集是任何非空集合的真子集

三、补集的概念

1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，

那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.

2、补集

（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.

（2）符号语言：

（3）符号语言：

（4）性质：A∪?UA＝U；A∩?UA＝?；?U(?UA)＝A.

【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。

四、集合相等

1、如果且，则.

2、如果，则且

五、有限集合的子集个数

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2n个．

（2）A的非空子集的个数有2n－1个．

（3）A的真子集的个数有2n－1个．

（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．

六、韦恩图

在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。

【注意】

（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。

（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。

题型一子集与真子集个数问题

【例1】集合的非空真子集的个数（）

A．16个B．15个C．14个D．13个

【答案】C

【解析】集合有个元素，

则集合有个子集，

故集合的非空真子集的个数为.故选：C．

【变式1-1】已知则集合的子集的个数是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，所以，

又，所以，

所以集合，所以集合的子集个数为个．故选：B．

【变式1-2】已知集合，则的子集个数为________

【答案】8

【解析】由，得.

所以B中含有3个元素，集合的子集个数有．

【变式1-3】满足的集合M共有（）

A．6个B．7个C．8个D．15个

【答案】C

【解析】由题可知集合M中必含元素a，且为的子集，

可按元素个数分类依次写出集合M为

，，，，，，，共8个.故选：C.

【变式1-4】满足的集合共有______个．

【答案】7

【解析】，

满足条件的集合有：，,,,,,

共7个.故答案为7

【变式1-5】满足的集合M有______个.

【答案】7

【解析】由,

可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,

因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有三个元素：,,；

含有四个元素：,,；

含有五个元素：,

故满足题意的集合M共有7个.故答案为：7

题型二集合之间的关系判断

【例2】下列关系中错误的是（）

A．B．C．D．?

【答案】C

【解析】因为，所以选项A，B，D都正确，

C选项，集合与集合的关系不能用属于符号，所以C错误.故选：C

【变式2-1】设集合，，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由且，即，

而，

所以为的子集，则.故选：A

【变式2-2】已知集合则的关系为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为，，

所以.故选：C．

【变式2-3】若集合，，则、、的关系是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由已知可知，集合、为奇数集，则，

，故.故选：A.

【变式2-4】已知集合，，，，求集合，，，之间的关系．

【答案】答案见解析

【解析】因为矩形、正方形、菱