1.2反证法（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）（解析版）.docx

1.2反证法（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2021·上海·高一专题练习）用反证法证明命题：“已知，，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为（???????）

A．、都能被5整除

B．、不都能被5整除

C．、至多有一个能被5整除

D．、至少有一个都能被5整除

【答案】D

【分析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，可知应假设命题的否定成立.

【详解】假设的内容是命题“与都不能被5整除”的否定为“、至少有一个能被5整除”.

故选：D

2．（2021·上海·南洋中学高一期中）用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是

A．都不能被5整除 B．都能被5整除

C．不都能被5整除 D．能被5整除

【答案】A

【分析】根据反证法的概念，即可得到命题的假设，解得求解.

【详解】根据反证法的概念可得：用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是“都不能被5整除”，故选A.

【点睛】本题主要考查了反证法的概念，其中解答中熟记反证法的基本概念，根据命题的否定，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

二、填空题

3．（2022·上海长宁·高一期末）若要用反证法证明“对于三个实数，，，若，则或”，应假设___________.

【答案】且

【分析】假设结论的反面成立，即可得到答案；

【详解】假设结论的反面成立，即且成立；

故答案为：且

4．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）用反正法证明：“若，则或”时，需假设_________.

【答案】且##且

【分析】根据反证法的定义即可得到答案.

【详解】“x≤1或y≤1”的否定为：“x1且y1”.

故答案为：x1且y1.

5．（2021·上海·位育中学高一期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．

【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.

【分析】从命题的否定入手可解.

【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.

【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.

三、解答题

6．（2021·上海市大同中学高一阶段练习）证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0.

【分析】利用给定条件借助反证法证明、、都小于0不可能即可得解.

【详解】假设、、都小于0，即，则有，

因、、，且，，，

于是得，与矛盾，

从而假设是错的，即、、都小于0是错的，则原结论成立，

所以、、中至少有一个不小于0.

7．（2021·上海市延安中学高一阶段练习）已知.

（1）若，，证明为锐角三角形；

（2）如图，过顶点作，垂足位于边上.若且，证明不是直角.

【分析】（1）首先根据已知条件得到，从而得到，即可证明为锐角三角形.

（2）利用反正法证明即可.

【详解】（1）由，得，

所以，

由?且得为锐角三角形.

（2）用反证法证明.

假设.

则，得，

与条件矛盾，

所以不是直角.

8．（2021·上海·高一专题练习）证明：是无理数．

【分析】用反证法假设是有理数，令，q为有理数，平方之后等号左后两侧相互矛盾，则假设不成立，则习题结论得证．

【详解】证明：假设是有理数，则令，q为有理数，

两边平方得，

由此可得，左边为无理数，右边有有理数，矛盾，所以假设不成立，

那么是无理数．

【点睛】本题考查了反证法的使用，熟知其证明步骤是解题的关键．

9．（2021·上海·高一单元测试）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数．

【解析】运用反证法进行证明即可.

【详解】假设是无理数不成立，即是有理数，

因为x是有理数，所以是互质的整数，

因为是有理数，所以是互质的整数，

因此，因为是整数，显然也是整数，

故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数．

10．（2021·上海·高一专题练习）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；

（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析.

【解析】（1）利用反证法即可证明.

（2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.

【详解】（1）证明：假设，，，

则，这与矛盾，

所以a，b，c中至少有一个小于.

（2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于，

反之不一定成立，例如：，，，则，

所以“”是“a，b，c中至少有一个小于”的充分非必要条件.

【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.