线性代数（第5版)课件：初等变换与初等矩阵.ppt

对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘命题1设A是一个m×n矩阵，则对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.初等矩阵的性质证明:直接验证(借助分块矩阵更简明).以相应的初等矩阵；例4．设求E(1,3)A；AE(1,3)；E(2(k))A；AE(1,3(k)).解:将矩阵A按行分块得按列分块得机动目录上页下页返回结束由矩阵的分块乘法运算有机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束因为初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,所以命题2初等矩阵是可逆矩阵,分析:故,初等矩阵是可逆矩阵.计算初等矩阵的行列式初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵.定理1(等价标准形定理)形式1：任意矩阵A经初等变换可化为使得(可操作性、易程序化)(过程性)(简洁性)命题1形式2：对于任意矩阵A，存在初等矩阵形式3：对于任意矩阵A，存在可逆矩阵定理2设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵从而分析:记作(初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵)机动目录上页下页返回结束****《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．例如其中的第一个问题就是求解三元一次方程组。***线性代数机动目录上页下页返回结束●初等变换的定义与性质●初等矩阵的定义与性质初等变换与初等矩阵●初步应用二则一、问题提出可逆矩阵随着n增大,计算量急剧增加!设A是n阶矩阵,且|A|≠0,则实际问题情况举例:●经济学投入产出的数学模型●计算机图形学●流体动力学飞机表面气流过程伴随矩阵初等行变换法机动目录上页下页返回结束线性方程组问题1解线性方程组的方法是什么？本质是什么?如何快捷地求解线性方程组？问题2线性方程组的解集的“大小”与方程的个数的关系是什么？二、初等变换的定义与性质机动目录上页下页返回结束初等行变换的引入《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．例如其中的第一个问题就是求解三元一次方程组。初等行变换的背景刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．…，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”刘徽（约公元3世纪）古代是将它用算筹布置起来解的（如下图所示），图中各行由上而下列出的算筹表示x，y，z的系数与常数项．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．19世纪德国数学家高斯（Gauss）把线性方程组的全部系数作为一个整体.收获：线性方程组可以用矩阵来表示初等行变换的背景刘徽注《九章算术》直除法的矩阵描述直除法：“以右行上禾遍乘中行，而以直除”初等行变换的背景定义1下面三种变换称为矩阵的初等变换:(3)对调矩阵的两行(列).(1)以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素;(2)把矩阵的某一行(列）所有