3.1.2 函数的单调性 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)（原卷版）.docx

3.1.2函数的单调性

一、函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

2、单调性的图形趋势（从左往右）

上升趋势下降趋势

3、函数的单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（2）单调区间D?定义域I.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；

二、单调性定义的等价形式:

1、函数在区间上是增函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

2、函数在区间上是减函数:

任取，且，都有；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，.

三、定义法证明函数单调性

1、定义法证明函数单调性的步骤：

（1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且；

（2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式；

（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；

（4）判断：根据定义做出结论。

2、利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧：

（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；

（2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；

（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；

（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。

四、函数单调性的性质

若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）与（C为常数）具有相同的单调性.

（2）与的单调性相反.

（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.

（4）若≥0，则与具有相同的单调性.

（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；

当时，与具有相同的单调性.

（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:

简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.

五、函数的最大（小）值

1、最大值：对于函数，其定义域为D，如果存在x0∈D，，使得对于任意的，都有，那么，我们称M是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．

2、最小值：对于函数，其定义域为D，如果存在x0∈D，，使得对于任意的，都有，那么，我们称M是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．

3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．

题型一单调性的定义理解

【例1】若函数的定义域为，且满足，则函数在上（）

A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．不能确定

【变式1-1】设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（）

A．B．

C．D．

【变式1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（）

A．B．

C．D．

【变式1-3】定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（）

A．函数先增后减B．函数是上的增函数

C．函数先减后增D．函数是上的减函数

题型二根据函数图象判断单调性

【例2】如图是函数的图象，则函数的减区间是（）

A．B．C．D．

【变式2-1】求出函数的单调区间.

【变式2-2】已知函数

（1）把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；

（2）写出函数的递减区间．

【变式2-3】画出函数，（）的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大、最小值.

题型三定义法证明函数的单调性

【例3】判断在的单调性.

【变式3-1】判断并证明在的单调性.

【变式3-2】已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．

【变式3-3】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．

题型四性质法判断函数的单调性

【例4】求函数的单调区间.

【变式4-1】求函数的单调递增区间.

【变式4-2】函数的单调递增区间为______.

【变式4-3】下列有关函数单调性的说法，不正确