3.1.3 函数的奇偶性 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)（解析版）.docx

3.1.3函数的奇偶性

一、函数奇偶性的定义

1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称

2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。

偶函数的性质：，可避免讨论．

二、判断函数奇偶性的常用方法

1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.

3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.

4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

5、分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

三、定义法判断函数奇偶性

判断与的关系时，也可以使用如下结论：

如果或，则函数为偶函数；

如果或，则函数为奇函数．

题型一判断函数的奇偶性

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）；（2）；

（3）；（4）.

【答案】（1）奇函数；（2）既不是奇函数也不是偶函数

（3）既是奇函数又是偶函数；（4）奇函数

【解析】（1）由，得，且，

所以的定义域为，关于原点对称，

所以.

又，所以是奇函数.

（2）因为的定义域为，不关于原点对称，

所以既不是奇函数也不是偶函数.

（3）对于函数，

∴，其定义域为，关于原点对称.

因为对定义域内的每一个，都有，

所以，，

所以既是奇函数又是偶函数.

（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.

①当时，，

所以，，所以；

②当时，，所以；

③当时，，所以.

综上，可知函数为奇函数.

【变式1-1】（多选）下列哪个函数是其定义域上的偶函数（）

A．B．C．D．

【答案】ABC

【解析】对于A：定义域为R，令，则，

所以为定义域上偶函数，故A正确；

对于B：定义域为R，令，则，

所以为定义域上偶函数，故B正确；

对于C：令，解得，定义域为，定义域关于原点对称，

令，则，

所以为定义域上偶函数，故C正确；

对于D：定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，故D错误.

故选：ABC

【变式1-2】设函数，则下列函数中为偶函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】，则，

因为是偶函数，故为偶函数.故选：A

【变式1-3】（多选）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（）

A．B．C．D．

【答案】AC

【解析】因为是定义在R上的偶函数，所以，

对于A，因为，所以为偶函数，故满足题意；

对于B，因为，所以为奇函数，故不满足题意；

对于C，易得为偶函数，故满足题意；

对于D，因为，

所以不为偶函数，故不满足题意；故选：AC

题型二利用奇偶性求参数

【例2】若函数为奇函数，则（）

A．B．C．D．1

【答案】A

【解析】由函数为奇函数，可得，

所以，

所以，化简得恒成立，

所以，即,

经验证，

定义域关于原点对称，且满足，故；故选:A．

【变式2-1】已知函数为偶函数，则________

【答案】

【解析】因为函数为偶函数，

所以，即，整理得，

因为所以当时上式恒成立.

【变式2-2】若函数是奇函数，则实数a的值为___________.

【答案】1

【解析】若是奇函数，则有.

当时，，则，

又当时，，所以，

由，得，解得a=1.

【变式2-3】设函数在区间上为偶函数，则的值为___________.

【答案】1

【解析】因为函数在区间上为偶函数，

所以，解得.

又为偶函数，

所以，即，解得：.

此时，，满足题意．

所以.

题型三利用奇偶性求函数值

【例3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则()

A．－12B．12C．9D．－9

【答案】B

【解析】，因为函数是定义在上的奇函数，

所以，故选：B.

【变式3-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.

【答案】3

【解析】因为函数是定义在上的奇函数，故，

，故.

【变式3-2】已知函数，，则的值是_______.

【答案】