数值分析3-4(最小二乘法).ppt

一、最小二乘法的定义第3章函数逼近与曲线拟合§4曲线拟合的最小二乘法二、求解方法三、求解步骤四、举例一、最小二乘法的定义1.“曲线拟合”问题已知：一组实验数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)，且观测数据有误差求：自变量x与因变量y之间的函数关系y=F(x)，不要求y=F(x)经过所有点，而只要求在给定点上误差按某种标准最小。使残差的最大绝对值为最小01使残差的绝对值之和为最小02使残差的平方和为最小03最小二乘法04度量标准不同，将导致不同的拟合结果，常用的准则有如下三种：052.多项式拟合的一般定义一组数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)，已知：求：在函数类中找一个函数，使误差平方和最小，即这里3.一般定义一组数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)，已知：求：在函数类中找一个函数，使误差平方和最小，即这里4.广义定义通常把最小二乘法都考虑为加权平方和即其中注：权函数在实际问题中有重要作用！ABC求如下多元函数的最小值由多元函数求极值的必要条件求S*(x)二、求解方法法方程展开解方程组确定拟合曲线的形式确定变量对应的数据确定法方程求解法方程最困难！三、求解步骤四、举例根据所给数据，在坐标纸上标出，从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，即令例1.已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.解xi12345fi44.5688.5ωi21311解得得法方程为于是所求拟合曲线为例2.在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲线y=F(t).t12345678Y4.006.408.008.809.229.509.709.86t910111213141516y10.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60从图中可以看出开始时浓度增加较快，后来逐渐减弱，到一定时间就基本稳定在一个数值上，即当t→∞时，y趋于某个常数，故有一水平渐近线。另外t=0时，反应未开始，浓度为0。概括起来为04y05解01t03根据所给数据，在坐标纸上标出，得下图02根据这些条件，可设想两种形式的函数关系：y=F(t)是双曲线型y=F(t)是指数形式b0y=F(t)是双曲线型为了确定a、b，令于是可用x的线性函数拟合数据。可由原始数据计算出来。可求得代入法方程得解得从而得到于是由计算出，拟合数据的曲线仍设为y=F(t)是指数形式为了确定a与b，对上式两边取对数得令01解得02从而得到得法方程01020304???请回答:怎样比较这两个数学模型的好坏呢？答：只要分别计算这两个数学模型的误差，从中挑选误差较小的模型即可。本例经过计算可得01而均方误差为由此可知第二个模型较好。02选择拟合曲线的数学模型，并不一定开始就能选好，往往需要通过分析若干模型后，经过实际计算才能选到较好的模型，如本例的指数模型就比双曲线模型好得多。结论：