无穷限的广义积分.pptVIP

一、无穷限的广义积分第四节广义积分二、无界函数的广义积分一、无穷区间的广义积分例1求由曲线y=e-x，y轴及x轴所围成开口曲边梯形的面积.解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取b?[0,+?)，在有限区间[0,b]上，以曲线y=e-x为曲边的曲边梯形面积为by=e-xyxO(0,1)y=e-xyxbO(0,1)即当b?+?时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，定义1设函数f(x)在[a,+?)上连续，取实数ba，如果极限则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+?)上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义2设函数f(x)在(-?,b]上连续，取实数ab，如果极限则称此极限值为函数f(x)在无穷区间(-?,b]上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义3设函数f(x)在(-?,+?)内连续，且对任意实数c，如果广义积分则称上面两个广义函数积分之和为f(x)在无穷区间(-?,+?)内的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即都收敛，否则称广义积分发散.若F(x)是f(x)的一个原函数，并记则定义1，2，3中的广义积分可表示为例2求解例3判断解由于当x?+?时，sinx没有极限，所以广义积分发散.例4计算解用分部积分法，得例5判断解故该积分发散.例6证明广义积分当p1时，收敛；当p≤1时，发散.证p=1时，则所以该广义积分发散.当p1时，综合上述，该广义积分收敛.当p≤1时，该广义积分发散.?1时，则二、无界函数的广义积分定义4设函数f(x)在区间(a,b]上连续，取e0，如果极限则称此极限值为函数f(x)在区间(a,b]上的广义积分，这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散.且记作即存在，定义5设函数f(x)在区间[a,b)上连续，取e0，如果极限则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b)上的广义积分.这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散.且即存在，定义6设函数f(x)在[a,b]上除点c?(a,b)外连续，如果下面两个广义积分则称这两个广义积分之和为函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分，这时也称广义积分收敛，否则，称广义积分发散.记作即都收敛，*