数学分析期中考试试题及答案.docx

数学分析期中考试试题及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.设函数f(x)=\sqrt{1+x^2}，则f(0)=

A.1B.0C.1D.不存在

答案：A

解析：

f(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^2}=\frac{1\cdot2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

所以f(0)=\frac{0}{\sqrt{1+0^2}}=0

2.函数f(x)=x^33x^2+2的极值点为

A.x=1B.x=2C.x=0D.无极值点

答案：B

解析：

f(x)=3x^26x

令f(x)=0，得3x(x2)=0，解得x=0或x=2

f(x)=6x6

f(0)=60，所以x=0是极大值点

f(2)=60，所以x=2是极小值点

3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是

A.f(x)在区间[a,b]上单调

B.f(x)在区间[a,b]上不单调

C.f(x)在区间[a,b]上有极值点

D.无法判断

答案：D

解析：

举反例：f(x)=x^22x+1在区间[0,2]上连续，且f(0)=f(2)=1，但f(x)在该区间上不是单调的。

4.设函数f(x)在x=c处可导，则下列等式正确的是

A.\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(c)}{h}=f(c)

B.\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(ch)}{2h}=f(c)

C.\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(ch)}{h}=2f(c)

D.\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(ch)}{h}=0

答案：C

解析：

\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(ch)}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(c)+f(c)f(ch)}{2h}

=\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(c)}{2h}+\lim_{h\to0}\frac{f(ch)f(c)}{2h}

=\frac{1}{2}\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(c)}{h}+\frac{1}{2}\lim_{h\to0}\frac{f(ch)f(c)}{h}

=\frac{1}{2}f(c)+\frac{1}{2}f(c)=f(c)

所以\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(ch)}{h}=2f(c)

5.设函数f(x)=e^x，则\intf(x)dx=

A.e^x+CB.e^x1+CC.e^x+1+CD.e^xx+C

答案：A

解析：

\inte^xdx=e^x+C，其中C是积分常数。

二、填空题（每题4分，共20分）

1.函数f(x)=x^33x^2+2的驻点为______。

答案：x=0或x=2

2.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，则根据零点定理，f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点，当且仅当______。

答案：f(x)在区间[a,b]上不恒正且不恒负

3.设函数f(x)在x=c处可导，且f(c)=2，则\lim_{h\to0}\frac{f(c+h)f(c)}{h}=______。

答案：2

4.函数f(x)=x^2\sinx的导数f(x)=______。

答案：2x\sinx+x^2\cosx

5.设函数f(x)