2025版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数教案理含解析新人教A版.docVIP

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第1讲随意角和弧度制及随意角的三角函数

基础学问整合

1．角的概念

(1)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为\o(□,\s\up1(01))正角、\o(□,\s\up1(02))负角、\o(□,\s\up1(03))零角.,按终边位置不同分为\o(□,\s\up1(04))象限角和\o(□,\s\up1(05))轴线角.))

(2)终边相同的角：全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于eq\o(□,\s\up1(06))半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝eq\o(□,\s\up1(07))2π弧度；180°＝eq\o(□,\s\up1(08))π弧度；②弧长公式：l＝eq\o(□,\s\up1(09))|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝eq\o(□,\s\up1(10))eq\f(1,2)lr＝eq\o(□,\s\up1(11))eq\f(1,2)|α|r2.

说明：②③公式中的α必需为弧度制！

3．随意角的三角函数

(1)定义：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝eq\o(□,\s\up1(12))y，cosα＝eq\o(□,\s\up1(13))x，tanα＝eq\o(□,\s\up1(14))eq\f(y,x)(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的eq\o(□,\s\up1(15))正弦线，eq\o(□,\s\up1(16))余弦线和eq\o(□,\s\up1(17))正切线．

1．三角函数值的符号规律

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．随意角的三角函数的定义(推广)

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

1．(2024·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，则sinα－cosα的值是()

A．－eq\f(7,5) B．－eq\f(1,5)

C.eq\f(1,5) D.eq\f(7,5)

答案A

解析由题意知sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，所以sinα－cosα＝－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝－eq\f(7,5).故选A.

2．若sinθcosθ0，则角θ是()

A．第一或其次象限角 B．其次或第三象限角

C．第三或第四象限角 D．其次或第四象限角

答案D

解析因为sinθcosθ0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ0，,cosθ0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ0，,cosθ0.))所以角θ是其次或第四象限角．故选D.

3．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()

A．10π B．9π

C.eq\f(9π,10) D.eq\f(10π,9)

答案D

解析单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×eq\f(π,180)＝eq\f(10π,9)，由弧度数的定义得eq\f(10π,9)＝eq\f(l,r)，所以l＝eq\f(10π,9).

4．设α是其次象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝eq\f(1,5)x，则tanα＝()

A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)

答案D

解析∵α是其次象限角，∴x＜0.又由题意知eq\f(x,\r(x2＋42))＝eq\f(1,5)x，解得x＝－3.∴tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).

5．(2024·潍坊模拟)集合αeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是()

答案C

解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范围一样；