沪教版数学九下同步教学课件27.3垂径定理（第1课时）.pptx

第27章圆与正多边形27.3垂径定理（第1课时）

复习旧知将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆，由此说明圆是图形，对称轴是______________.互相重合轴对称直径所在的直线

将一张圆形纸片沿着直径所在的直线翻折，问题1：能观察到什么？问题2：说明什么？直径两侧的两个半圆互相重合.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.·

如图CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为M．（1）利用圆是轴对称图形的性质，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？（2）你能用推理的方法来证明吗？证明：分别联结OA、OB.∵OA=OB，OM⊥AB，又∵CD是⊙O的直径，AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.∴CAD=CBA，即AD+AC=BD=BC，∴AM=BM；∠AOD=∠BOD，AD=BD，∴AC=BC.·OABCMD

BCAMO.D总结：垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦并且平分这条弦所对的弧。CD为⊙O的直径CD⊥AB条件结论⌒⌒⌒⌒AM=BMAC=BCAD=BD结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧。条件“圆的直径垂直于弦”也可表述为“圆的半径垂直于弦”或“圆心到弦的垂线段”，实质是指“一条过圆心的直线（或直线部分）与圆的一条弦具有垂直关系”简述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的弧.

垂径定理的符号语言●OABCDM└CD⊥AB,∵CD过圆心,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD（垂径定理）

垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD

下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB

例1如图，已知，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.问1：大圆的弦AB交小圆于C、D两点的含义是什么？问2：这两个圆叫什么圆？同心圆BDAOCCD是小圆的弦典例1

例1如图，已知，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC=BD.过圆心O作OH⊥AB，垂足为点H.由垂径定理，得AH=BH,同理:CH=DH,∴AH-CH=BH-DH,即AC=BDBDAOCH证明：

37.47.2例题2石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m.求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1m).RR-7.2根据题意，画出图形OABDC跨度指的是什么?拱高指的是什么?如何求半径?典例2

例题2石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m.求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1m).37.47.2RR-7.2OABDC解：如图，用弧AB表示桥拱，O为圆心，联结AB，过圆心O作半径OC垂直于弦AB，垂足为点D.根据垂经定理可知D是AB的中点，C是弧AB的中点，则CD是拱高。由题意得AB=37.4米，CD=7.2米，得在Rt△AOD中，由勾股定理得设半径为R，则OD=R-7.2.解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的桥拱半径约为27.9m.

●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧拓展一：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8，CD=6，则AB、CD间的距离是___.1cm或7cm

ABOED油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)拓展二：在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。OE=125(mm)(2)BAOED解：

小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO

判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧辨别是非

课本练习

1、如图，已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.CBOA解:联结AO.∵OC⊥AB，O为圆心，∴AC=