3.5.3 函数的周期性和对称性-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第一册) (解析版).docx

函数的周期性和对称性

一函数的周期性

1概念

对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=

Eg：

上图是三角函数fx

①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；

②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即

(思考：4π是周期么

③整个函数，对于任何x，都有f(

(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等

下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？

2常见的结论

①若f(x+a)=f

②若f(x+a)=-f(x)，则y

③若fx+a=1

二函数的对称性

1函数图象自身的对称关系

①轴对称：若f(x+a)=

②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+

2两个函数图象之间的对称关系

①轴对称

若函数y=f(x)定义域为R，则两函数

特殊地，函数y=f(a+x

②中心对称

若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=

特殊地，函数y=f(x+a

3周期性与对称性拓展

①若函数y=f(x)同时关于直线x=a,x=b对称，则函数y=

②若函数y=f(x)同时关于点a,0

③若函数y=fx同时关于直线x=a对称，又关于点b,0

T=4|

特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x

【题型一】函数的周期性

【典题1】设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1

【解析】∵f(x)是周期为4的奇函数，当

∴f

【典题2】设偶函数f(x)对任意x∈R，都有

f(x)=4x

【解析】∵f

∴f

∴函数f(x)

∵当x∈[－3,

∴f(107.5)=f

故答案为：110

【点拨】

①在求值过程中，比如本题中求f(107.5)，先用函数周期性把107.5这个数值变小些，尽量向[－

②函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.

巩固练习

1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=-

A．f

C．f(15)

【答案】B

【解析】∵f(x)

∴f(x

∴f

f(11)=

f(15)=

又f(x)

∴f(－

故选：B．

2(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x

x∈[-7,-5]时，f(x)

【答案】|x

【解析】当x∈[－

∴f

故选：C．

3(★★★)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f

f5=a2-2

【答案】

【解析】由f(x+1)=

则f(x+4)=－f

则f(5)=

又∵函数f(x)是定义在R

∴f

∴a2－

∴实数a的取值范围是(－

【题型二】函数图象自身的对称关系

【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34，0)

fx=-f(x+3

【解析】∵fx=-

则f

∴f(x)是周期为3的周期函数．(

则f

∵函数f(x)的图象关于点(-3

∵

∴

【典题2】已知函数f(x)=2

A．函数f(x)的图象关于x=2对称 B．

C．函数f(x)的图象关于(2,2)对称 D．

【解析】方法一利用函数平移和奇偶性

对于A选项：若函数f(x)的图象关于x

而y=f(

对于B选项，可以采取类似选项A的方法排除；

对于C选项：若函数f(x)的图象关于(2,2)对称，则则函数向左和向下均平移2个单位的函数关于原点对称，即

易得y=f(

对于D选项：若函数f(x)的图象关于(4,4)对称，则函数向左和向下均平移4个单位的函数关于原点对称，即

而y=f(

故选C．

方法二利用函数自身的轴对称和中心对称关系

利用函数自身的轴对称关系:若f(x+a)=

对于A选项：若函数f(x)的图象关于

而f4

对于B选项：若函数fx的图象关于x=4

而f8

利用函数自身的中心对称关系：

若f(a+x)+f(b

对于C选项：若函数f(x)的图象关于

易得fx+f

对于D选项：若函数f(x)的图象关于

而f(x)+f(8-

故选C．

方法三取特殊值排除法

对于A选项：f0=0，f4≠0，故函数f(

对于B选项：f0=0，f8≠0，故函数

对于D选项：f0=0，f8=

故选C．

【点拨】

①从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；

②方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；

③方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；

对于函数自身的轴对称和中心对称关系

(1)轴对称:若f(x+a)=

对于选项A，令a=b=