5.1 函数的概念与图象-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)（解析版）.docx

5.1函数的概念与图象

一、函数的定义及概念概念

1、函数的定义：给定两个非空数集A，B，如果按照某种确定的对应关系f，

对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数和它对应，

那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：，.

【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。

（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；

（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；

（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；

（4）方向性：A→B

2、函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域：

在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；

与x的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

3、同一个函数

由函数的定义可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数。

二、求函数的定义域的依据

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中

奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.

3、零次幂的底数不能为零，即中.

4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

三、描点法作函数图象的三个步骤

1、列表：先找出一些有代表性的自变量的值，再计算出与这些自变量相对应的函数值，并用表格的形式表示出来；

2、描点：把表格中的点一一在平面直角坐标系中描出来；

3、连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大（或由大到小）的顺序连接起来。

题型一判断是否为函数

【例1】下列是从集合A到集合B的函数的是（）

A．，对应法则

B．，，对应法则

C．，对应法则

D．，，对应法则

【答案】B

【解析】A：当，，但，所以集合A中的

一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；

B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；

C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；

D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，

所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；

【变式1-1】下列关系中为y是x的函数的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】对于选项A，无解，所以不能构成函数；

对于选项B，对于一个，有两个与之对应，与函数定义不符；

对于选项C，对于，有两个与之对应，与函数定义不符；

对于选项D，完全符合函数的定义；

故选：D.

【变式1-2】托马斯说：“函数是近代数学的思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】根据题意，可知函数的定义域为，

对于A选项，按照对应的，函数的值域为，A选项错误；

对于B选项，按照对应的，函数的值域为，B选项错误；

对于C选项，按照对应的，函数的值域为，C选项正确；

对于D选项，按照对应的，函数的值域为，D选项错误.

故选：C.

【变式1-3】下列两个变量之间的关系中，是函数关系的是（）

A．学生的性别与他的数学成绩B．人的工作环境与健康状况

C．女儿的身高与父亲的身高D．正三角形的边长与面积

【答案】D

【解析】此题考查两个变量的关系．

因为学生的性别与他的数学成绩无关系，故A错；

人的工作环境与健康状况有关系，但是影响健康状况的因素很多，故B错；

女儿的身高与父亲的身高有关系，但是影响女儿的身高的因素也很多，故C错；

正三角形的边长与面积存在一一对应的函数关系，故D对．

故选：D

【变式1-4】下列图形是函数图像的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.

对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；

对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；

对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；

对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；

故选:C

【变式1-5】若函数y=f（x）的定义域为，且，值域为，且，则y=f（x）的图象可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由图可知，选项A，D的定义域不是，且，故AD错误；

对于选项C，图象中有一部分自变量对应两个函数值，故C错误；

由函数的定义可知，B正确；