2025（人教版）数学八年级下册第17章 勾股定理 单元培优题型训练（学生版+解析版） .pdf

第十七章勾股定理单元重难点题型归纳与训练

一•作辅助线构造直角三角形求线段长度

【题型解读】通过合理地作辅助线构造直角三角形，再结合直角三角形的各种性质（勾股定

理等），就有效地解决求线段长度的问题，关键是要根据题目所给的图形和条件特点，

巧妙地选择作辅助线的方式.

1.在三角形中作高构造直角三角形：当已知三角形的一些边和角的信息，但所求线段在非

直角三角形中时，常通过向某条边作垂线（即作高）来构造直角三角形.这样就可以利用

直角三角形的相关性质（勾股定理等）来求解线段长度.

2.割补四边形作辅助线构造直角三角形：对于四边形（如梯形、平行四边形等），如果要

求其中某些线段的长度，可通过连接对角线、作高、平移某条边、同时往外延长边等方

式来构造出直角三角形..

例1如图，在△ABC中，ZACB=90°,CE是斜边AB上的高，角平分线BQ交CE于点

M.（1）求证：是等腰三角形；（2）若AB=10,AC=8,求CM的长度.

c

例2如图，在四边形ABCD中，ZA=60°,ZB=/D=90°,BC=6,CD=9,则

对练习:

1.如图，四边形ABCD中ZA=60°,ZB=/D=90°,AD=8,AB=L则BC+CD等于

()

X七

A.6V3B,5V3C.4V3D,3必

2如.图，ZkABC中，AB=4,BC=6,BQ是△ABC的角平分线，DELAB于点E,AF±BC

于点E,若DE=L则AE的长为.

3如.图，四边形ABCQ中，ZABC=ZADC=60°,ZBAD90°,AC±BC,若AB=2,

4如.图，已知ZB=ZC=ZD=ZE=90°,AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则A,F

两点间的距离是（）

A.14B,6+V3C.8+V2D.10

【解法提炼】

①利用等腰三角形的性质作高：等腰三角形三线合一

②利用角平分线的性质作高：角平分线上的点到角的两边距离相等

③利用特殊角的性质作辅助线：30°所对的直角边是斜边的一半；含45。的直角三角形是

等腰直角三角形；120°可分割为30°与90°等

④利用平移的性质作辅助线：平移前后图形的形状、大小不变

⑤当作了直角三角形斜边上的高时，可用等面积法求斜边上高的长

利二用.勾股定理的几何意义求图形面积

【题型解读】勾股定理的几何意义是以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的

和，等于以斜边为边长的正方形的面积.

在此基础上，命题中会设计许多变式图形：

1.将正方形改为等边三角形、半圆；

2.会将斜边或直角边上的图形翻折，构造重叠图形，求阴影部分的面积；

3.会设计组合图形，如勾股树等；可以先利用勾股定理的几何意义确定一些关键边长对应的

面积关系，再去求整个图形的面积，或找规律.

此类问题考察勾股定理的几何意义及数形结合思想方法，是考试热点问题.

例1如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,以三角形各边为直径作半圆，其

中两半圆交AB于点M,阴影部分面积分别记作S1和S2,则S,S2之间应满足的等式

是.

例2如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，51,52,S3,S4分别表

示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是sb,则

52+53-54的值为..（用含S人的代数式表示）

对练习:

1.如图，直角三角形ABC中，ZC=90°,分别以AB、AC.BC为直径向上作半圆.若BC

)

27713V57T

C.