2025年矩阵分析1_原创精品文档.pdfVIP

博观而约取，厚积而薄发。——苏轼

矩阵分析

矩阵分析是数学中一门重要的分支，主要研究矩阵及其运算规

律、性质和应用。矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、

经济学、工程学、信息科学、生物学等，成为现代科技和工程

中不可或缺的一部分。

一、矩阵介绍

矩阵是一种数学对象，由m行n列的元素数排列成一个矩形

阵列。一般用大写字母A、B、C等表示矩阵，而用小写字母

a、b、c等表示元素。如下所示：

A=[a11a12…a1n

a21a22…a2n

………

am1am2…amn]

其中，a11、a12、a21和a22等都是矩阵A的元素，其中第i

行第j列的元素表示为aij，i表示行数，j表示列数。

二、矩阵的运算

矩阵的运算包括加、减、乘和求逆，下面分别介绍。

1、加法

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白

令A、B是两个矩阵，则矩阵的加法定义为相加其对应的元素。

例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A+B的结果为：

A+B=[a11+b11a12+b12

a21+b21a22+b22]

2、减法

矩阵的减法也是按照对应元素相减的规则。例如，如果A和

B都是两行两列的矩阵，则A-B的结果为：

A-B=[a11-b11a12-b12

a21-b21a22-b22]

3、乘法

矩阵乘法是指将一个矩阵的行乘以另外一个矩阵的列的结果所

组成的矩阵。例如，如果A是m行n列的矩阵，B是n行p

列的矩阵，则它们的乘积C是m行p列的矩阵，C中第i行第

j列的元素可以表示为：

Cij=Σk=1,2,…naikbkj

其中，Σ表示求和符号，k表示矩阵A和B相乘的公共维度，

即行数或列数。

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

4、求逆

如果矩阵A是非奇异矩阵，即其行列式不为0，则可以求出其

逆矩阵A-1，使得A×A-1=I，其中I为单位矩阵。求逆矩阵的

公式如下：

A-1=1/|A|adj(A)

其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。

三、矩阵的性质

矩阵有很多基本的性质，其中包括：

1、矩阵的行和列数可以不相等；

2、矩阵可以相加和相乘，但不可以相减和相除；

3、矩阵加法和乘法有结合律、分配律和交换律；

4、矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。

四、矩阵的应用

矩阵在各个领域中都有广泛的应用，如下所示：

1、物理学

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

矩阵在物理学中常被用于描述量子力学、电磁现象、缓存作用

等各种现象。例如，量子力学中的薛定谔方程可以通过矩阵算

法求解；电磁现象可以通过麦克斯韦方程组用矩阵表示等。

2、经济学

矩阵在经济学中被广泛应用于输入产出模型、线性回归分析、

因子分析等方面。例如，输入产出模型中，矩阵可以用来描述

不同产业之间的交换关系；线性回归分析可以通过矩阵运算求

解回归系数等。

3、工程学

矩阵在工程学中被广泛应用于自然频率、阻尼比、冲击响度等