2024年高考数学专题04三角函数与三角恒等变换第四季压轴题必刷题理.docVIP

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专题04三角函数与三角恒等变换第四季

1．锐角中，a，b，c为角A，B，C所对的边点G为的重心，若，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

如图示：

连接CG，并延长交AB于D，

由G是三角形的重心，得D是AB的中点，

，，

由重心的性质得，即，

由余弦定理得：，

，

，，

，

则，

是锐角三角形，

，，，

将代入得：，

，

故答案为：

2．在中，若，，则面积的最大值为______．

【答案】

【解析】

由，得，

由，得，

又由余弦定理得：，得，

，，，

因为

，

故答案为.

3．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

故答案为

4．将函数的图象向右平移?个单位后得到函数的图象，若对满意的、，有的最小值为，则______．

【答案】或

【解析】

5．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________________m．

【答案】

【解析】

画示意图如下图所示，

此人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40m，此时∠DBF=45°，从点C到点D所测塔的仰角，只有点B到CD的距离最短时，仰角最大，这是因为为定值．

过点B作BE⊥CD于点E，连接AE，则．

在中，CD=40m，∠BCD=30°，∠DBC=135°，

由正弦定理，得，∴

在中，

∴

在中，，∴

故所求的塔高为

6．已知在中，角分别对应边，且，，，则的面积为__________．

【答案】

7．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是____________________.

【答案】

【解析】

．

令，可得，．

令，解得，

∵函数在区间内没有零点，∴区间内不存在整数．

又，∴，

又，∴或．

∴或，解得或．

∴的取值范围是，故答案为．

8．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为_______．

【答案】

9．正三角形边长为，其所在平面上有点、满意：，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

如图所示，建立直角坐标系，

满意，

点的轨迹方程为，

令，

又，

则，

，

的最大值是.

10．的内角，，的对边分别为，，，且，的面积为，，则的最大值为__________．

【答案】

11．锐角的内角，，的对边分别为，，.若，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

运用余弦定理,,代入,得到

,结合正弦定理,可得

所以,而,所以,

而,解得,所以

,而

所以

12．若函数在内有两个不同的零点，则实数的取值范围是____.

【答案】或

【解析】

由题意，函数令，，

则原函数转化为有两个不同的零点，

则转化为函数在上有唯一的零点

即转化为方程在上有唯一的实根或在上有两相等的实根

转化为函数，与函数有唯一交点

得或

所以或

13．设函数.若对随意实数a，均有，则k的最小值为________.

【答案】16

【解析】

由条件知

，

当且仅当时，取到最大值.

依据条件，知随意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.

反之，当时，随意一个开区间均包含的一个完整周期，此时，.

综上，k的最小值为，其中，表示不超过实数x的最大整数.

14．若实数、满意，且的图像上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

由题意知

，

其中，.

若的图像上存在两条相互垂直的切线，则存在、使得

.①

令.于是，.

则由式①得.

故.

又，故.

因此，，即的取值范围为.

15．在中，设、、的对边分别为、、.假如、、成等比数列，那么，三角方程的解集是______.

【答案】

【解析】

由、、成等比数列，知不为最大边，故.不妨设.

由，有.

所以，.

当时，取，满意题意.

当时，由，有

.

.明显冲突.

当时，有，

.

又易知，

故.

又，所以，存在、、满意.

故答案为：

16．已知正整数满意.则关于的方程在区间上的解的个数的最大值是______.

【答案】18

【解析】

因为奇数，则，不妨设.

方程的解为.

由得

，

.

所以方程根的个数不多于.

又，则，即根的个数不多于19.

但最多不能有19个根，因为这