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微专题7零点问题

[考情分析]在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，考查形式多样，难度中等偏上，若以压轴题出现，则难度较大.

考点一利用导数判断函数零点个数

例1(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx(a

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a=2时，若函数g(x)=f(x)-x+ex-1，求函数g(x)的零点个数.

解(1)f(x)=x-(a+1)+ax=x2?(a+1)x+a

当0a1时，当x∈(0，a)∪(1，+∞)时，f(x)0，f(x)在(0，a)，(1，+∞)上单调递增；

当x∈(a，1)时，f(x)0，f(x)在(a，1)上单调递减.

当a1时，当x∈(0，1)∪(a，+∞)时，f(x)0，f(x)在(0，1)，(a，+∞)上单调递增；

当x∈(1，a)时，f(x)0，f(x)在(1，a)上单调递减.

当a=1时，f(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增.

(2)当a=2时，f(x)=12x2-3x+2lnx，x0

所以f(x)=x-3+2x，x

所以g(x)=ex-1-3+2x，x

所以g(x)=ex-1-2

显然g(x)在区间(0，+∞)上单调递增，

因为g(1)=-10，g(2)=e-120

所以存在唯一x0∈(1，2)，使得g(x0)=0，

当x∈(0，x0)时，g(x)0，当x∈(x0，+∞)时，g(x)0，

所以g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，其中x0∈(1，2)，

又g(1)=0，g(x0)g(1)=0，g(2)=e-20，

所以g(x)在(0，x0)上有唯一零点x=1，在(x0，2)上有唯一零点，

因此g(x)的零点个数为2.

[规律方法]三步求解函数零点(方程根)的个数问题

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；

第三步：结合图象求解.

跟踪演练1(2024·郑州模拟)已知函数f(x)=eax-x.

(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的零点个数.

解(1)若a=2，则f(x)=e2x-x，f(x)=2e2x-1.

又f(1)=e2-1，切点为(1，e2-1)，

曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的斜率k=f(1)=2e2-1，

故所求切线方程为y-(e2-1)=(2e2-1)(x-1)，

即y=(2e2-1)x-e2.

(2)由题意得f(x)=aeax-1.

当a≤0时，f(x)0，f(x)在R上单调递减，

又f(0)=10，f(1)=ea-1≤0，

此时f(x)有一个零点.

当a0时，令f(x)0得x-ln

令f(x)0得x-ln

所以f(x)在?∞，?lna

故f(x)的最小值为f?lnaa

当a=1e时，f(x)的最小值为0，此时f(x)有一个零点

当a1e时，f(x)的最小值大于0，此时f(x)没有零点

当0a1e时，f(x)的最小值小于0，f(-1)=e-a+10

当x→+∞时，f(x)→+∞，此时f(x)有两个零点.

综上，当a≤0或a=1e时，f(x

当0a1e时，f(x

当a1e时，f(x)没有零点

考点二由零点个数求参数范围

例2(2024·北京丰台模拟)已知函数f(x)=a2x+2ax-2lnx(a≠0).

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.

解(1)当a=1时，f(x)=x+2x-2lnx，x0，

则f(x)=1+1x-

所以f(1)=0，f(1)=3，

故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=3.

(2)f(x)=a2+ax-2x=a2x+ax?2x

当a0时，则ax+20，

令f(x)0，则x1

令f(x)0，则0x1

故f(x)在1a2，+

故当x=1a2时，f(

则f(x)min=f1a2=a2·1a2+2a1a2

又当x→+∞时，f(x)→+∞，且当x→0时，f(x)→+∞，

故要使函数f(x)有两个零点，只需要f(x)min=3+4lna0，

解得0ae?

当a0时，则ax-10，

令f(x)0，则x4

令f(x)0，则0x4

故f(x)在4a2，+

故当x=4a2时，f(

则f(x)min=f4a2=a2·4a2+2a4a2-2ln4a2=-2ln

又当x→+∞时，f(x)→+∞，且当x→0时，f(x)→+∞，

故要使函数f(x)有两个零点，只需要f(x)min=-