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微重点4切割线放缩

[考情分析]在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.

考点一切线放缩

常见的切线放缩：?x∈R都有ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.

?x-1都有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立.

当x0时，xsinx；当x0时，xsinx.

例1(2024·银川模拟)设函数f(x)=ex-m-lnx.

(1)若曲线y=lnx在点(1，0)处的切线与曲线y=ex-m也相切，求m的值；

(2)当m≤2时，证明：f(x)0恒成立.

[规律方法]该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线.

跟踪演练1已知函数f(x)=ex-x2

(1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值；

(2)若对?x∈(0，+∞)，恒有f(x)≥bx，求b的取值范围.

考点二双切线放缩

例2(2024·河南省名校联盟模拟)已知b0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为xln2-y-ln2=0.

(1)求a，b的值；

(2)若方程f(x)=1e

[规律方法]含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数)，告知方程f(x)=b有两个实根x1，x2，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明.

跟踪演练2已知f(x)=x-xlnx-1，记f(x)在x=1e处的切线方程为y=g(x)

(1)证明：g(x)≥f(x)；

(2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1x2)，证明：x1-x22m+2-e-1e

答案精析

例1(1)解由y=lnx，得y=1x，当x=1时，y=1

所以曲线y=lnx在点(1，0)处的切线斜率为1，

所以曲线y=lnx在点(1，0)处的切线方程为y=x-1，

由y=ex-m，得y=ex-m，

设曲线y=ex-m与直线y=x-1相切于点(x0，x0-1)，

则ex0

所以m的值为2.

(2)证明方法一因为m≤2，

所以ex-m≥ex-2，

所以f(x)=ex-m-lnx≥ex-2-lnx，

令h(x)=ex-2-lnx，x∈(0，+∞)，

所以h(x)=ex-2-1x

令g(x)=ex-2-1x，x∈(0，+∞)

所以g(x)=ex-2+1x2

所以g(x)即h(x)在(0，+∞)上单调递增，

因为h(1)=1e-10

h(2)=1-120

所以?x0∈(1，2)，

使得h(x0)=ex0-2-1x

当x∈(0，x0)时，h(x)0，当x∈(x0，+∞)时，h(x)0，

所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，

所以h(x)min=h(x0)=ex0-2-ln

由①得ex0-2=1x0，所以

所以h(x0)=ex0-2-lnx0=1x0+x0

因为x0∈(1，2)，

所以h(x)min=h(x0)0，

所以ex-2-lnx0，

故ex-m≥ex-2lnx，

所以f(x)0.

方法二因为m≤2，

所以ex-m≥ex-2，

所以f(x)=ex-m-lnx≥ex-2-lnx，

由(1)知曲线y=ex-2和y=lnx的公切线方程为y=x-1，

设φ(x)=ex-2-x+1，x∈R，

则φ(x)=ex-2-1，

当x2时，φ(x)0，

当x2时，φ(x)0，

所以φ(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，

所以φ(x)≥φ(2)=0，

故ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立.

令m(x)=x-1-lnx，x∈(0，+∞)，

所以m(x)=1-1x=x

当x∈(0，1)时，m(x)0，

当x∈(1，+∞)时，m(x)0，

所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，

所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥lnx，当且仅当x=1时等号成立，

所以ex-2≥x-1≥lnx，且两等号不能同时成立，

所以ex-2lnx，即ex-2-lnx0，即证得f(x)0.

跟踪演练1解(1)设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x0，y0)，