2025年高考数学二轮复习课件 第3讲　数列与不等关系.docxVIP

第3讲数列与不等关系

基础回归

1．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1(λ∈R)，若{an}是递增数列，则λ的取值范围为(B)

A．(0，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))

C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D．(－1，＋∞)

【解析】因为Sn＝λn2＋2n＋1(λ∈R)，所以Sn＋1＝λ(n＋1)2＋2(n＋1)＋1(λ∈R)，两式相减得an＋1＝Sn＋1－Sn＝λ(2n＋1)＋2.因为数列{an}是递增数列，所以当n≥2时，an＋1－an＝[λ(2n＋1)＋2]－[λ(2n－1)＋2]＝2λ＞0，即λ＞0.当n＝1时，a1＝S1＝λ＋3，a2＝3λ＋2，由3λ＋2＞λ＋3，解得λ＞eq\f(1,2).综上，λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).

2．已知{an}为等比数列，且首项为31，公比为eq\f(1,2)，则数列{an}的前n项积取得最大值时，n＝(C)

A．15 B．16

C．5 D．6

【解析】因为{an}的首项为31，公比为eq\f(1,2)，所以an＝31×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1).设数列{an}的前n项积为Sn，则Sn＝a1·a2·a3·…·an＝31n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0＋1＋2＋…＋(n－1))＝31n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(n(n－1),2))，所以eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(31n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up6(\f(n(n＋1),2)),31n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up6(\f(n(n－1),2)))＝eq\f(31,2n)，可得当n≤4时，eq\f(31,2n)＞1，此时Sn＋1＞Sn，即S5＞S4＞S3＞S2＞S1；当n≥5时，eq\f(31,2n)＜1，此时Sn＋1＜Sn，即S5＞S6＞S7＞S8＞….所以当n＝5时，前5项积最大．

3．(人A选必二P55第6题改)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天支付4元，第二天支付8元，第三天支付12元，以此类推；第三种，第一天支付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)．若该同学准备在该商场工作15天，则他选择第__三__种方案领取报酬更有利．

【解析】设三种领取方式n天共领取报酬分别为An，Bn，Cn，则An＝38n，Bn＝4n＋eq\f(n(n－1),2)×4＝2n2＋2n，Cn＝eq\f(0.4(1－2n),1－2)＝0.4(2n－1).因为A15＝570，B15＝480，当n≥11时，0.4(2n－1)≥818.8，所以C15最大，因此，选用第三种方案．

4．若数列{an}的通项公式为an＝n，求证：eq\f(1,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,aeq\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,aeq\o\al(2,n))＜eq\f(7,4).

【解答】当n＝1时，eq\f(1,aeq\o\al(2,1))＝1＜eq\f(7,4)；当n＝2时，eq\f(1,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,aeq\o\al(2,2))＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)＜eq\f(7,4)；当n＞2时，eq\f(1,aeq\o\al(2,n))＝eq\f(1,n2)＜eq\f(1,n(n－1))＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，eq\f(1,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,aeq\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,aeq\o\al(2,n))＜eq\f(1,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,aeq\o\al(2,2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝1＋eq