2024-2025学年广东省五校高二上学期第二次联考数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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广东省五校2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由，

故选：C.

2.椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（）

A.4 B.3 C.5 D.7

【答案】D

【解析】椭圆的长半轴长，依题意，，而，

所以.

故选：D

3.已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】的中点坐标为，

所以边上的中线所在直线的方程为，

整理得.

故选：B

4.若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】如图，过点C作CD⊥AB于D，依题意，因为故|CD|=3，

从而，圆的半径为故所求圆的方程为

即

故选：C

5.圆与圆的公切条数为（）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【答案】B

【解析】的圆心是，半径，

即，圆心为，半径，

，，

所以两圆相交，公切线有条.

故选：B

6.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（）

A.6.4m B.6m C.3.2m D.3m

【答案】A

【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

设抛物线的方程为，

依题意可知，抛物线过点，

所以，

所以抛物线方程为，

所以当时，，

解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为.

故选：A

7.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量，

且平面与直线相交于，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

故选：A

8.已知点为椭圆上任意一点，直线过圆的圆心且与圆交于两点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】，即，

则圆心，半径为.

椭圆方程，,

则，

则圆心为椭圆的焦点，

由题意的圆的直径，且

如图，连接，由题意知为中点，则，

可得

.

点为椭圆上任意一点，

则，，

由，

得.

故选：C

二、多选题（本题共3小题，题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分送对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知直线，（）

A.当时，直线的倾斜角为

B.当时，

C.若，则或

D.直线始终过定点

【答案】BD

【解析】对于A，当时，直线：，

故斜率，则倾斜角为120°，故A错误，

对于B，等价于，解得，故B正确，

对于C，若，且，故，故C错误，

对于D，：变形为：，

令且，解得，故恒过，故D正确，

故选：BD

10.已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（）

A.点在圆C外

B.直线l与圆C相离

C.点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是

D.将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为

【答案】BCD

【解析】因为圆C：，所以圆心，半径

对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错；

对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对；

对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对；

对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半，

如图所示

则圆C有且仅有3个点到直线的距离为2，故D对；

故选：BCD.

11.在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（）

A.

B.该三棱柱的体积为4

C.过，，三点截该三棱柱的截面面积为

D.直线与平面所成角的正切值的最大值为

【答案】ABD

【解析】如图建立空间直角坐标系，则.

对于A，，

因，

，

可得，

因，且两直线在平面内，则有平面，

又为棱上的动点，故，即