1.1 空间向量及其运算-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册) (解析版).docx

空间向量及其运算

1空间向量的概念

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母a、b

PS

(1)空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；

(2)向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a

(3)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；

(4)向量具有平移不变性.

(5)在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.

2运算

(1)定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).

OA=OB+OC=

(2)运算律

①加法交换律:a+

②加法结合律:(a

③数乘分配律:λ(

运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.

PS平行六面体法则:在平行六面体ABCD－A1

3共线向量

(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b

(2)共线向量定理：空间任意两个向量a，b(b≠0)，

(3)三点共线：A、B、C三点共线?

(4)与a共线的单位向量为±a

4共面向量

(1)定义

一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.

(2)共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,

(3)四点共面

方法1若要证明A、B

方法2若要证明A、B、C、P

证明若x+

则OP=

=OC

∴OP-OC

即CP,CA,CB

【题型一】空间向量的线性运算

【典题1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1

若AB=a，AD=b，

A．12a+12b+c B

【解析】(与平面向量的方法类似，用“首尾相接法”把CM向a,b

CM

=-

=-

=-b

=-b

=-1

故选：D．

【点拨】

①空间向量运算符合三角形法则、平行四边形法则，类似平面向量；

②本题解法很多，比较灵活，而本题解题思路是“首尾相接法”：以a,b,c为基底，在对CM“首尾相接”的时候，尽量向三个基底靠拢(利用

③类似题目需要大胆下笔推算，也可利用一些常见结论：

(1)在三角形?ABC中，点D是BC的中点，则AD

(2)平行六面体法则:在平行六面体ABCD－A1

【典题2】已知在空间四边形ABCD中，G是△BCD的重心，E,F,H

(1)AG+13BE+12CA；(

【解析】(1)AG

=AB

=1

(2)12

(3)13

在三角形ADH中，DG=2

则AG-

即有AG=13

巩固练习

1(★)在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，则EF等于.(用AB，AC，AD

【答案】-1

【解析】在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为

所以EF=

2(★)在空间四边形ABCD中，连结AC，BD．若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB+12

【答案】0

【解析】如图，延长DE交BC于点F，根据题意知F为BC的中点．

又因为E为正三角形BCD的中心，所以DE=23

所以AB+

3(★★)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，

【答案】13

【解析】∵M是D1

∴MN

=1

4(★★★)在三棱锥A-BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3

【答案】1

【解析】三棱锥A-BCD中，P为

延长PB至B1，使得PB1=2PB，延长PC至C

因为S△PBC=1,

所以P为△B1C

即PD+2

所以(AD

所以AP=

【题型二】空间向量共线共面问题

【典题1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1

【解析】设AB

∴EB

∵A1E

∴A1E

∴EF

又∵由(1)知EB=

∴EF=2

所以E,

【典题2】已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点

(1)OB+OM=3OP-OA

【解析】(1)∵A,B

又∵对于平面ABM外的任意一点O，

若OB+

则，

∵13+13

(2)∵A,B

又对于平面ABM外任意一点，

若OP=4OA-

故点P与A,

【典题3】如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E

【解析】分别延长PE,PF,

因为E,F,

顺次连接M,

且有PE=

∴MQ

=3

又∵MQ

∴32

由共面向量定理知：E,

巩固练习

1(★)已知向量a，b且AB=a+2

A．A，B，DB．A，

【答案】A

【解析】因为BD=