1.1.2 集合的基本关系 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)（解析版）.docx

1.1.2集合的基本关系

一、子集与真子集的定义与表示

1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．

2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)

【注意】

（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．

（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．

例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2?B，所以A不是B的子集；

同理，因为3∈B，但3?A，所以B也不是A的子集．

二、空集

1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，

并规定：空集是任何集合的子集．

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：

（1）空集只有一个子集，即它本身；

（2）空集是任何非空集合的真子集．

2、0，{0}，?，{?}的关系

?与0

?与{0}

?与{?}

相同点

都表示无的意思

都是集合

都是集合

不同点

?是集合；

0是实数

?中不含任何元素；

{0}含一个元素0

?不含任何元素；

{?}含一个元素，该元素是?

关系

0??

?{0}

?{?}或?∈{?}

三、子集的性质

（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A.

（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A.

（3）如果A?B，B?C，则A?C.

（4）如果AB，BC，则AC.

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时，要注意讨论A＝?和A≠?两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．

四、子集的个数

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2n个．

（2）A的非空子集的个数有2n－1个．

（3）A的真子集的个数有2n－1个．

（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．

五、韦恩图

在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。

【注意】

（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。

（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。

题型一判断集合间的包含关系

【例1】已知集合，则下列关系正确的是（）

A．B．C．D．?

【答案】C

【解析】因为集合，

所以根据子集的定义可知，故选：C.

【变式1-1】设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x2或x3}，则A与B的关系为()

A．A∈BB．B∈AC．A?BD．B?A

【答案】C

【解析】∵02，∴0∈B.又∵12，∴1∈B，∴A?B.

【变式1-2】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()

A．P?N?M?QB．Q?M?N?PC．P?M?N?QD．Q?N?M?P

【答案】B

【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.

【变式1-3】给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】①，故①错误；

②是整数，所以，故②正确；

③由，得或，所以，所以正确；

④为正整数集，所以错误；

⑤由，得，所以，

所以错误.

所以正确的个数有2个.故选：B.

【变式1-4】设集合，，则（）

A．B．?C．?D．

【答案】B

【解析】对于集合，

对于集合，

是奇数，是整数，所以?.故选：B.

题型二确定集合的子集和真子集

【例2】集合的真子集的个数是（）

A．3B．4C．7D．8

【答案】C

【解析】的真子集的个数为个.故选：C

【变式2-1】已知集合，，则集合B的子集的个数是（）

A．3B．4C．8D．16

【答案】C

【解析】依题意，所以集合B的子集的个数为，故选：C.

【变式2-2】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，由题意可知，集合为的子集，

则满足条件的集合的个数为.故选：B.

【变式2-3】满足的所有集合共有__________个.

【答案】

【解析】由题意可得，或或