1.2 空间向量的基本定理（精练）（解析版）.docx

1.2空间向量的基本定理（精练）

1空间向量的基底

1

1．（2022·全国·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，

对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，

对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，

对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.故选：D．

2．（2022·江苏·高二课时练习）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】若，，共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得，

即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是．故选：B

3．（2021·全国·高二课时练习）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A：因为，所以M，A，B，C四点共面，

所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；

B：，

因为，所以M，A，B，C四点共面，所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；

C：因为，所以M，A，B，C四点不共面，

所以，，不共面，则能成立空间的一个基底；

D：，

所以A，B，C三点共线，这与已知矛盾，故不符合题意，故选：C

4．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；

假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，所以,

因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；故选:D.

5．（2021·北京铁路二中高二期中）已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与，构成基底的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，，所以ABD错误；因为是空间向量的一个基底，所以，，构成基底.故选：C

6．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（???????）．

A．2 B． C．1 D．0

【答案】D

【解析】因为与共线，空间的一组基底，所以，

所以解得，所以x＋y＝0.故选：D.

7．（2022·江苏·沛县教师发展中心）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（?????）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】ABD

【解析】对于A，因为，故，，共面；

对于B，因为，故，，共面；

对于D，因为，故，，共面；

对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，

，故共面，

这与构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD

8．（2022·重庆·高二期末）（多选）若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（???????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】ABD

【解析】对于A选项，若，则，解得，故共面；

对于B选项，若，则，解得，故共面；

对于C选项，若，则，无解，故不共面；

对于D选项，若，则，解得，故共面；

故选：ABD

9．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）（多选）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；

B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；

C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；

D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.

故选：AC.

10（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）

①，，；?????????????②，，；

③，，；????????????????????④，，．

【答案】③

【解析】由空间向量基本定理得：

对于①，，所以，，三个向量共面；

对于②，，所以，，三个向量共面；

对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，

且与、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，

所以，