2.1 命题、定理、定义【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册) （原卷版）.docx

2.1命题、定理、定义

一、命题

1、命题概念：在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。

【注意】

（1）不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题；

（2）只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题；

3、命题的分类：

命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。

（1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等；

（2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可；

（3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。

4、判断一个命题真假的方法：

在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。

二、命题的结构形式

1、命题的一般形式：“若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。

2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式.

三、公理、定理、定义

1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。

2、定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。

3、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别

题型一命题概念的理解

【例1】下列语句为命题的是（）

A．B．你们好！C．下雨了吗？D．对顶角相等

【变式1-1】下列语句中不是命题的有（）

①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．

A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④

【变式1-2】下列语句是命题的是（）

A．鹿晗很帅B．请把手机收起来！C．D．

【变式1-3】唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（）

A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思

【变式1-4】关于区间，有下列四个命题：

甲：小于1的数都不在区间I内

乙：区间I内不存在两个数互为倒数

丙：区间I内存在小于1的数

丁：区间I内每个数的平方都大于它本身

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

题型二命题的结构形式

【例2】写出下列命题的条件与结论.

（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；

（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；

（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；

（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.

【变式2-1】写出下列命题的条件和结论.

（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；

（3）若a，b都是偶数，则是偶数；

（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；

（5）若，则；

（6）若，则方程有实数解.

【变式2-2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式．

（1）6是12和18的公约数；

（2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根；

（3）平行四边形的对角线互相平分．

【变式2-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式.

（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；

（2）平行于同一条直线的两条直线平行；

（3）两个无理数的和是无理数；

（4）乘积为正数的两个数同号；

（5）两个奇数的和是偶数；

（6）矩形的四个角相等；

（7）等腰三角形的两个底角相等；

（8）直径所对的圆周角是直角.

题型三命题真假的判断

【例3】命题“若，则”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.

【变式3-1】（多选）下列说法中，以下是真命题的是（）．

A．存在实数，使

B．所有的素数都是奇数

C．至少存在一个正整数，能被5和7整除.

D．三条边都相等的三角形是等边三角形

【变式3-2】（多选）下列命题是假命题的为（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

【变式3-3】（多选）给出以下四个命题，其中真命题是:（）

A．命题“若互为相反数，则”

B．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”

C．命题“若，则有实根”

D．命题“若是正整数，则都是正整数”

题型四已知命