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北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三下学期第一次统练数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（???）

A． B．

C． D．

2．在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（???）

A． B． C． D．

3．在的展开式中，常数项为（???）

A．12 B．6

C． D．

4．已知数列满足对任意的，都有．若，则（???）

A．1 B．2

C．3 D．4

5．已知，且，则（???）

A． B．

C． D．

6．已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

7．“”是“对任意，”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（????）

A． B． C． D．

9．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（???）

A． B．

C． D．

10．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（???）

A．是“可分集” B．是“可分集”

C．若是“可分集”，则中元素全为奇数 D．若是“可分集”，则中元素个数为奇数

二、填空题

11．已知函数，则

12．如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为．

13．写出与圆和都相切的一条直线的方程．

14．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为，原点O为AD的中点，抛物线经过C，F两点，则=.

15．设数列和的项数均为m，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为C．已知数列和为集合C中的两个元素，项数均为m，给出下列四个结论：

①数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4

②若，则

③若则

④若数列和的距离不超过2025，则m的最大值为3470．

其中，所有正确结论的序号是

三、解答题

16．在中，．

(1)求B；

(2)若求边a以及的面积．

17．四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，E为棱的中点，过点B，C，E的平面交棱于点F．

??

(1)求证：F为中点；

(2)若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值．

条件①：

条件②：

条件③：与平面所成角的正切值为2

如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18．上学期间，甲每天7:30之前到校的概率为，乙每天7:30之前到校的概率为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(1)设为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件发生的概率；

(2)在上学期间随机选择两天，记为甲7:30之前到校的天数，记为乙7:30之前到校的天数，，求的分布列和数学期望；

(3)在上学期间随机选择天，若在这天中，甲7:30之前到校的天数多于乙，则记，否则记，分别比较，的大小和，的大小，直接写出结论.

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程：

(2)当时，求不等式的解集；

(3)若不等式无整数解，求实数a的取值范围．

20．已知椭圆，E的离心率，短轴长为4.

(1)求椭圆E的标准方程：

(2)对于给定的点，在E上存在不同的三点A，B，Q，使得四边形为平行四边形，且直线AB过点，求t的取值范围.

21．已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记．

(1)若，数列，写出的所有可能值．

(2)对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得．

(3)对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立．

注：表示中最大的数，表示中最小的数．

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《北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三下学期第一次统练数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

A

D

B

D

C

D

B

D

1．B

【分析】求出集