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福建省福州市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，且，则（????）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

2．经过点，且与直线平行的直线的方程为（????）

A． B． C． D．

3．在等比数列中，若，，则（????）

A．6 B．8 C． D．16

4．如图，在长方体中，点为的中点.设，，，则（????）

??

A． B． C． D．

5．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（????）

A．2 B．3 C． D．4

6．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（????）

A． B． C． D．

7．已知数列满足，，则的前25项和为（????）

A．2 B．12 C．13 D．14

8．已知为原点，，若圆上存在点使得，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知点，，，则（????）

A．是直角三角形

B．边上的高所在直线的方程是

C．的面积是1

D．边上的中线所在直线的方程是

10．将边长为2的正方形（图1）沿对角线折成直二面角（图2），则（????）

A． B．

C．直线与所成角为 D．点到平面的距离是

11．已知曲线，则（????）

A．点在曲线上

B．曲线关于轴对称

C．直线与曲线无交点

D．当直线与曲线恰有两个公共点时，的取值范围为

三、填空题

12．准线为的抛物线的标准方程是

13．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约辆.（参考数据：，，）

14．如图，是双曲线的右焦点，过原点的直线分别交的左、右两支于两点.若，且线段的中

点在的一条渐近线上，则的离心率为.

四、解答题

15．已知等差数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)求的前项和的最大值.

16．已知圆经过，两点，且圆心在直线上.

(1)求的方程；

(2)若直线与交于A，B两点，求.

17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，.

(1)若为棱的中点，求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)记.

（i）求数列的前项和；

（ii）若对任意的，，求的取值范围.

19．已知椭圆的焦点在轴上，经过点，.

(1)求的标准方程；

(2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.

（i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标；

（ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

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《福建省福州市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

D

B

D

A

D

A

ABC

BD

题号

11

答案

ACD

1．C

【分析】有，可得，再根据空间向量数量积的坐标运算建立方程，解方程即可.

【详解】因为，所以

又，

所以，解得

故选：C

2．B

【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒

【详解】令与直线平行的直线方程为，

由题意可得，点在直线上，所以

解得，

所以所求直线的方程为：

故选：B

3．D

【分析】由等比数列的定义求出公比q，从而可求等比数列的通项公式，即可得解.

【详解】设等比数列的公比为

因为在等比数列中，，，所以

所以，所以，

故选：D

4．B

【分析】根据空间向量的线性运算求解.

【详解】，

故选：B

5．D

【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求解即得.

【详解】抛物线的准线为，设点，则，解得，

所以点到轴的距离为4.

故选：D

6．A

【分析】根据题意，，，可得的面积.

【详解】在椭圆中，，，，

则，

点在上，，所以，

则.

故选：A

7．D

【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个周期为3的周期数列，从而可得前25项和．

【详解】